Тема 4. Примеры Примеры выполнения обязательных заданий по теме 4

Задание 1. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

 Пример

	В этом примере ответ записываем сразу, т.к. подстановка в условие дает отношение двух чисел, при этом знаменатель . 

Рассмотрим последовательно стандартные случаи раскрытия неопределенных выражений.

 

Вычисление предела отношения многочленов при ,

,

где - многочлены степени и , .

В этом случае пользуются тем, что бесконечно большая величина эквивалентна своей главной части, т.е. многочлен будет эквивалентен слагаемому с переменной в наибольшей степени.

При

Поэтому

 Примеры

=	Выделение главной части многочленов, стоящих в числителе и знаменателе приводит к раскрытию неопределенности.
	

=	Выделение главной части многочленов, стоящих в числителе и знаменателе приводит к раскрытию неопределенности.
	

=	Выделение главной части многочленов, стоящих в числителе и знаменателе приводит к раскрытию неопределенности.
	

 

Вычисление предела отношения многочленов при ,.

Выполним тождественные преобразования, целью которых будет устранение неопределенности, т.е. выделение в числителе и в знаменателе множителя, стремящегося к 0, а именно . Тогда .

В этом случае необходимо помнить, что квадратный трехчлен , у которого , может быть представлен в виде произведения линейных множителей:

,

где и - корни квадратного трехчлена.

 ПРИМЕРЫ

	Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в числителе: ,и представим его в виде произведения. Знаменатель представим как сумму кубов
=	Сократим на множитель .
=	Выражение под знаком предела не содержит неопределенности. 

 =		Приведем дроби к общему знаменателю, учитывая, что
=	.
=	Приведем подобные и сократим на .
=	Неопределенность раскрыта. 

 

Вычисление пределов, содержащих квадратные (кубические) корни.

При вычислении пределов, содержащих иррациональное выражение, которое обращается в нуль при , в нем нужно выделить множитель.

Это можно сделать, избавляясь от иррациональности в числителе или знаменателе путем умножения (и деления) дроби на соответствующий сопряженный множитель. При этом часто используются формулы:

,

или . ,

 Примеры

	Для выделения множителя умножим и разделим дробь на выражения, сопряженные числителю и знаменателю.
=
Множитель , множитель. По свойствам пределов эти постоянные множители можно вынести за знак предела.
=	После сокращения на получаем ответ. 

	Для выделения множителя , умножим и разделим дробь на выражение, сопряженное числителю.
=			В числителе получим разность кубов.
= =		Сократим на , тогда неопределенность будет раскрыта.
=  

,, 

Вычисление пределов функций с использованием следствий из первого и второго замечательных пределов

Для вычисления следующих пределов удобно пользоваться таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, полученных в качестве следствий из первого и второго замечательных пределов.

Заметим, что роль бесконечно малой величины (в таблице х) может играть любая величина, стремящаяся к нулю при выполнении условия данного предела. Например:

поэтому ;

поэтому ;

поэтому , и тому подобное.