Непрерывность функции. Классификация разрывов функции

 Функция у=у(х) называется непрерывной в т. х=х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и предел функции при хх₀ совпадает с ее значением в т. х=х₀, т.е.

Выполнение этого равенства предполагает выполнение следующих условий:

• Функция определена в точкеи некоторой ее окрестности.

• Существует конечный правый предел функции

.

• Существует конечный левый предел функции

.

• Односторонние пределы равны и их общее значение есть предел функции в точке .

• Предел функции равен значению функции в точке , т.е.

.

Если не выполняется хотя бы одно из перечисленных условий, то говорят, что функция имеет (терпит) разрыв в точке .

Точки разрыва бывают I и II рода.

 Для определения вида разрыва следует:

1. Найти точки, в которых функция может иметь разрыв. Это либо точки, не принадлежащие области допустимых значений, либо точки, в которых меняется аналитическое выражение функции.

2. В каждой такой точке вычислить односторонние пределы:

3. Учитывая полученные значения односторонних пределов, сделать вывод о характере разрыва, пользуясь схемой.

Вопреки распространенному мнению, в экономических задачах прерывность функции встречается не менее часто, чем непрерывность.

Например, рассмотрим мощность черной металлургии по производству чугуна, как функцию времени. Очевидно, изменение этой мощности, измеряемой числом м³ полезного объема доменных печей, происходит в моменты окончания строительства и сдачи в эксплуатацию каждой новой печи или в моменты остановки и закрытия старых печей. В эти моменты функция мощности имеет разрыв 1–го рода – скачки, а в промежутках между ними остается постоянной (смотри рисунок).

Рассмотрение функции как прерывной или непрерывной зависит от конкретных условий. В связи с большей простотой решения многих вопросов для непрерывной функции иногда допускают, что функция непрерывна.

Однако, нередко функция, строго говоря, имеющая много разрывов, может с известным приближением рассматриваться как непрерывная, причем в ее анализе могут применяться соответствующие приемы. Например, численность населения страны как функция времени носит, строго говоря, такой же прерывный характер, как и мощность доменного производства. Она увеличивается или уменьшается на единицу в моменты соответственно рождения или смерти какого-либо гражданина. Но изменение численности на 1 настолько мало ее меняет в масштабах страны с населением в несколько десятков миллионов, что функцию можно считать непрерывной. Но стоит перейти от численности населения страны к численности населения дома или квартиры, то въезд или выезд одного жителя будут настолько заметно ее менять, что эту функцию нельзя практически рассматривать как непрерывную.

Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-линейные (гиперболические), степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) – в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Если действием побочных факторов можно пренебречь, или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной.

1. Функции потребления и линия бюджетного ограничения.

В теории потребительского спроса на два благаx и y (к примеру, исследуемое x и все остальные y), предпочтения потребителя описываются кривой безразличия U(x,y)=U_k=const, а бюджетное ограничение (расходы потребителя  его дохода) в случае, когда потребитель тратит весь свой доход на рассматриваемые блага: xp_x+yp_y=I, где I – доход потребителя, а p_x и p_y – цены благ x и y соответственно. Для того, чтобы построить графики этих неявно заданных функций y(x) в системе координат, где по оси абсцисс отложена величина блага x, а по оси ординат – y, нужно выразить в явном виде величину y как функцию x для обеих зависимостей. Сделаем это для простейшей функции полезности U(x,y)=xy. Для уровня полезности (благосостояния) U₀ и дохода I получаем следующие функции: Графиком первой из этих функций (кривой безразличия) является гипербола, а графиком второй (бюджетного ограничения) – прямая линия, имеющая отрицательный наклон, равный по абсолютной величине относительной цене благаx и точку пересечения с осью ординат соответствующую количеству благаy, которое можно приобрести по цене p_x, если потратить на него весь доход I.

2. Кривые спроса и предложения.

Другим примером функций в экономике служат функции спроса (D) и предложения (S), выражающие связь цены блага (p) и величины спроса и предложения блага при постоянных вкусах потребителей, ценах на другие блага и других параметрах.

Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену p₀ данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель экономики).

3. Зависимости величины спроса от дохода.

В модели потребительского спроса используются также функции Л.Торнквиста, моделирующие связь между величиной дохода (I) и величиной спроса потребителей (D) на: a) малоценные товары ;

б) товары первой необходимости; в) товары второй необходимости (относительной роскоши); г) предметы роскоши. Соответствующие им графики приведены на рисунке ().

Можно установить уровень дохода (), при котором начинается приобретение тех или иных товаров и уровень насыщения () для групп товаров первой и второй необходимости.

4. Графики зависимости издержек и дохода от объема производства.

В качестве последнего примера рассмотрим функции издержек C(q) и дохода фирмы R(q)=q·D(q) в зависимости от объема производства q. Поведение функции дохода определяется функцией спроса D(q). Рассмотрим более подробно поведение функции издержек C(q). В типичном случае издержки фирмы велики при небольшом объеме производства q и вначале растут быстрее, чем доход. С увеличением объема производства скорость роста издержек уменьшается, и в какой-то момент времени они сравниваются с доходом и фирма начинает получать прибыль(соответствует объему производства q₁). При увеличении объема производства прибыль увеличивается, достигая максимума при оптимальном значении q_opt. При дальнейшем увеличении объема производства издержки снова начинают расти быстрее дохода (исчерпаны эффективные ресурсы, нужны дополнительные помещения сырье, квалифицированная рабочая сила) и прибыль фирмы уменьшается, достигая отрицательных значений при достаточно больших объемах производства. Типичные графики дохода, издержек и прибыли приведены на рисунке. Им, например, могут соответствовать функции R(q)=aq-bq², C(q)=cq-dq²+eq³ (a,b,c,d,e - const).