Тема 7. Теория

Тема 7. Определенные и несобственные интегралы Определенный интеграл

Задача, приводящая к понятию определенного интеграла – задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция, для определенности. Найдем площадь, ограниченную осьюОХ, прямыми и линией. Можно также говорить о площадипод кривой или о площади криволинейной трапеции.

Для этого разобьем трапецию произвольным образом на частичные трапеции линиями, параллельными ОУ: , а затем заменим каждую прямоугольником со сторонойи высотой, где-произвольно выбранная на частичном отрезке точка.

Составим сумму площадей всех прямоугольников, она будет приближенно равна площади всей криволинейной трапеции: . Такая сумма называетсяинтегральной. Очевидно, будет тем более точно определять площадь криволинейной трапеции, чем на большее число частичных трапеций будет разбита исходная криволинейная трапеция. А приили, что то же самое,эти площади совпадут.

 Если существует конечный предел интегральной суммы , при, который не зависит от способа разбиения области на частичные отрезки и выбора точек, то он называетсяопределенным интегралом функции на отрезкеи обозначается

.

Здесь – нижний ,– верхний пределы интегрирования.

 - Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: если - представляет семейство функций, то-

- определенное число. 

 - Заметим, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т.к. смена обозначений не влияет на интегральную сумму.

Свойства определенного интеграла.

1 - если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, определенный интеграл поменяет знак.

2 - интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю по определению.

3 ;

.

Аналогичные свойства есть и у неопределенного интеграла. Они показывают, что интегрирование – линейная операция и может быть распространена на любое конечное число слагаемых: .

4 Свойство аддитивности. Если - функция, интегрируемая на

и , где, то она интегрируема наи

Иными словами, отрезок интегрирования можно разделить на части какой-либо точкой и интеграл по всему отрезку заменить суммой интегралов по двум полученным отрезкам.

5 Свойство алгебраической площади. Определенный интеграл есть число того же знака, что и подынтегральная функция. То есть при вычислении площадей с помощью определенного интеграла можно получить отрицательную площадь.

 Теорема- о среднем значении функции на отрезке. Еслинепрерывна на отрезке (), то на этом отрезке существует хотя бы одна точка (), такая, что функция принимает в ней свое

среднее значение:.

Геометрический смысл теоремы: пусть, тогда существует по крайней мере одна точка, такая, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривойбудет равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной:.

Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

Если для подынтегральной функции можно найти первообразную, то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.

 -Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислить определенный интеграл как разность первообразных на верхнем и нижнем пределах интегрирования, не вычисляя предела интегральной суммы.

Можно выделить два этапа вычисления определенного интеграла.

• Одним из методов интегрирования (см. тему 6) находят первообразную.

• Вычисляют разность значений первообразной функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

 - Сначала в первообразную подставляют верхний предел.