Тема 5. Теория

Сложные проценты. Воспользуемся формулой A_n=A(1+r)ⁿ , A₄=10(1+0,8)⁴=104,98 млн. денежных единиц.

Вывод. При одной и той же процентной ставке и первоначальной сумме вклада рост при вкладе под сложные проценты происходит значительно быстрее, чем при вкладе под простые проценты.

2) Найдем наращенное значение вклада по кварталам 4-го года, воспользовавшись формулой для равномерного начисления процентов: гдеm=4 (начисление поквартально), n=4 , r=0,8, A=10. Тогда 184,88 млн.ден.ед.

Найдем наращенное значение вклада в конце 4-го года при ежемесячном начислении процентов. В той же формуле теперь m=12, остальные значения – те же 221,50 млн.ден.ед.

Вычислим еще наращенное значение вклада по формуле непрерывного начисления процентов:

A_n=Ae^{r n}; A₄=10e^0,84=10e^3,2=245,33 млн.ден.ед.

Вывод. Рост денежного вклада существенно зависит от числа m , т.е. от того, сколько раз в год начисляются сложные проценты. Чем больше m, тем быстрее растет вклад.

3) Увеличение первоначального вклада в 1,5 раза : A_n=1,5·A=15 млн.ден.ед. Рассчитаем требуемые величины :

по основной формуле начисления сложных процентов	по формуле непрерывного начисления процентов
=0,69	=0,51
=10,67	=10,14
=1,43	=0,61

Сравнение результатов показывает, что существенная разница наблюдается только при вычислении дисконтируемой суммы.

Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одного аргумента Приращения функции и аргумента

Пусть х – аргумент (независимая переменная); y=y(x) – функция.

Возьмем фиксированное значение аргументах=х₀ и вычислим значение функции y₀=y(x₀). Теперь произвольным образом зададим приращение (изменение) аргумента и обозначим его  х ( х может быть любого знака).

Аргумент с приращением – это точка х₀+ х. Допустим, в ней также существует значение функции y=y(x₀+ х) (см. рисунок).

Таким образом, при произвольном изменении значения аргумента получено изменение функции, которое называется приращениемзначения функции :

,

и не является произвольным, а зависит от вида функции и величины .

Приращения аргумента и функции могут быть конечными, т.е. выражаться постоянными числами, в этом случае их иногда называют конечными разностями.

В экономике конечные приращения рассматриваются весьма часто. Например, в таблице приведены данные о длине железнодорожной сети некоторого государства. Очевидно, приращение длины сети вычисляется путем вычитания предыдущего значения из последующего.

Будем рассматривать длину ж/д сети как функцию, аргументом которой будет время (годы).

Годы	Длина ж/д на 31.12, тыс.км.	Приращение	Среднегодовой прирост
1993	74,5	76,9-74,5=2,4	2,4/3=0,8
1996	76,9	81,0-76,9=4,1	4,1/4=1,0
2000	81,0	83,5-81,0=2,5	2,5/3=0,8
2003	83,5	84,4-83,5=0,9	0,9/1=0,9
2004	84,4

Само по себе приращение функции (в данном случае длины ж/д) сети) плохо характеризует изменение функции. В нашем примере из того, что 2,5>0,9 нельзя заключить, что сеть росла быстрее в 2000-2003 годах, чем в 2004 г., потому что приращение 2,5 относится к трехлетнему периоду, а 0,9 – всего к одному году. Поэтому вполне естественно, что приращение функции приводят к единице изменения аргумента. Приращение аргумента здесь – периоды: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1.

Получим то, что в экономической литературе называют среднегодовым приростом.

Можно избежать операции приведения приращения к единице изменения аргумента, если взять значения функции для значений аргумента, отличающихся на единицу, что не всегда возможно.

В математическом анализе, в частности, в дифференциальном исчислении, рассматривают бесконечно малые (БМ) приращения аргумента и функции.