Производная параметрически заданной функции

 - Параметрически заданная функция : , то есть переменныех и у задаются как функции третьей переменной t , которая называется параметром.

 - Чтобы найти производную параметрически заданной функции, используют следующую формулу: .

ПРИМЕР

Найти производную параметрически заданной функции:

в точке М(0;а).

Найдем производные по параметру t от x и у.

	Используем правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5), а также дифференцирования сложной функции.
;	По формуле найдем производную .
	В заданной точке М: х=0; у=а; поэтому для определения значения параметра t, соответствующего точке М, следует решить систему.
	Выбираем только те корни, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы, и находим значение производной в точке М
 - Если значение производной функции в некоторой точке , то это означает, что график функции в этой точке имеет касательную, расположенную вертикально ( по геометрическому смыслу: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной ;). 

Логарифмическое дифференцирование (логарифмическая производная)

К логарифмическому дифференцированию обращаются в двух случаях.

I случай	II случай
Степенно-показательная функция:	Композиция (произведение/деление) более чем двух функций вида: .

В обоих случаях перед дифференцированием соответствующие выражения логарифмируют по основанию е (натуральный логарифм), используя свойства логарифмов (см. справочный материал). Эти свойства позволяют преобразовать выражение I в произведение, а выражение II – в алгебраическую сумму функций.

;

Затем находят производную, как производную неявно заданной функции, то есть, дифференцируя обе части полученных уравнений.

ПРИМЕР

Найти производную функции:.

II случай.

	Логарифмируем функцию.
	Вычисляем производную, как от неявно заданной функции.
	Из полученного выражения найдем , учитывая задание функцииу.
. 

Дифференциал функции и дифференциал аргумента

Пусть в некоторой точке функция дифференцируема, то есть имеет конечную производную: . Примем без доказательства, что в этом случае приращение функции можно представить в виде:

, где- бесконечно малые величины.

Очевидно, что при таких условиях приращение функции представляет собой БМ (бесконечно малую) величину, состоящую из суммы двух бесконечно малых величин. Выделим ее главную часть, сравнив слагаемые (см. тему 4, сравнение БМ величин).

Так как ,

то - БМ более высокого порядка малости, чем.

Главной частью БМ приращения функции будет (БМ величина эквивалентна своей главной части):

.

 - Дифференциалом функции называют главную, линейную относительно приращения аргумента, часть бесконечно малого приращения функции.

Дифференциал обозначается латинской буквой d. Если учесть, что дифференциал аргумента совпадает с его БМ приращением:, то получим формулу для вычисления дифференциала функции:

 - .

Из этого выражения - производная в дифференциальном виде, обозначение, введенное Лейбницем.

Для вычисления дифференциалов функций применяются все те же правила, что и для вычисления производной.

1		Дифференциал постоянной равен нулю:
2		Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов этих функций:
3		Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций:
4		Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:
5		Дифференциал частного двух дифференцируемых функций (при условии, что V0):

Главным свойством дифференциала функции является инвариантность, неизменность его формы. Пусть задана функция y=f(x), где x=, т.е. y=f() является сложной функцией. Предположим, что f и - дифференцируемые функции. Вычислимdy:

.

Таким образом, дифференциал функции выражается одной и той же формулой как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции. Именно это свойство дифференциала называют инвариантностью формулы (или формы) дифференциала.

Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала функции от функции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала функции от независимой переменной. Так, в формуле ,dx есть не только дифференциал, но и приращение аргументаx, если x - независимая переменная, и dx есть дифференциал x, но не приращение , если аргументx есть в свою очередь функция некоторой переменной t.