Приложение производной в экономической теории

Рассмотрим некоторые примеры приложения производной в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

 Теорема Ферма: если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю.

Экономическая интерпретация. Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

То есть уровень выпуска х₀ является оптимальным для производителя, если MC(x₀) = MR(x₀), где MC – предельные издержки, а MR – предельный доход (marginal revenue).

Обозначим функцию прибыли Z(х). Тогда Z(х) = R(x) − C(x). Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска х₀, при котором функция Z(х) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Но, поэтомут.е.MR(x₀) = MC(x₀).

 Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние издержки AC(x) определяются как , т.е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функцииy = AC(x), т.е. при условии

, т.е. MC(x)=AC(x).

 Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов – закон убывающей доходности – звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина , гдех – приращение ресурса, а у – приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении х. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y=f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

 Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности U=U(x), где х – товар, а U – полезность. Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

Примеры решения некоторых экономических задач

Пусть функция устанавливает зависимость издержек производства от количествах выпускаемой продукции. Найти предельные издержки производства и коэффициент эластичности, если объем продукции составляет 100 единиц или 20 единиц.

1. Предельные издержки производства есть производная от функции издержек

При соответствующих объемах продукции:

Итак, чем больше производится продукции, тем медленнее растут издержки на ее выпуск.

2. Эластичность функции

В нашем случае

Итак, при объеме выпуска в 100 единиц, если количество выпускаемой продукции увеличится на 1%, т.е. на 1, то относительные издержки производства увеличатся приближенно на 0,67%; при объеме в 20 единиц увеличение выпуска продукции на 1% повлечет увеличение относительных издержек приближенно на 0,95%.

Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией C = 50 х - 0,05 х³ (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением

(ден. ед.).

Предельные издержки: (ден. ед.).

Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объеме выпускаемой продукции в количестве 10 ед.), составляют 35 ден. ед.

Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс. ден. ед.) и выпуском продукции х (млрд. ден. ед.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции равной 60 млрд. ден. ед.

Эластичность себестоимости

Это значит, что при выпуске продукции на 60 млрд. ден. ед., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

Опытным путем установлены функции спроса и предложения, гдеD, S – количество товара соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени; р – цена товара. Найти: 1) равновесную цену, т.е цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются;

2) эластичность спроса и предложения для этой цены;

3) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение.

1). Равновесная цена определяется из условия D=S, т.е.

откуда р = 2, т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

2). Найдем эластичность спроса и предложения по формуле

Тогда

Для равновесной цены р = 2 имеем

Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше единицы, то и спрос, и предложение данного товара при равной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

Так, при увеличении цены р на 1% спрос уменьшается на 0,3%, а предложение увеличивается на 0,8%.

3). При увеличении цены р на 5% от равновесной спрос уменьшается на 50,3=1,5%, следовательно, доход возрастает на 3,5% (5% − 1,5% = 3,5%).

Как связаны предельные и средние затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна единице?

Пусть полные затраты предприятия TC выражаются функцией TC=f(x), где х – объем выпускаемой продукции. Тогда средние затраты AC на производство единицы продукции Таким образом,

По условию E_x(TC) = 1, следовательно E_x(AC) = 1-1 = 0. Это означает, что с изменением объема продукции х средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е. откудаTC = c·x (с – постоянная величина).

Предельные издержки предприятия определяются производной Итак, т.е. предельные издержки равны средним издержкам. (Заметим, что полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек.)

Фирма планирует выпустить солнечные батареи. На основе исследований была установлена зависимость спроса D от цены p за батарею :

где D – количество батарей для продажи в год. Затраты фирмы на выпуск D солнечных батарей составляют

Рассчитать доход (прибыль), определить его максимальное значение.

Валовой доход (total revenue)

Из условия запишем функцию р как функцию переменной D:

Значит,

Тогда доход (прибыль)

Итак,

Определим максимальный доход (прибыль)

Значит, при D=25000 единиц доход (прибыль) достигает максимума, R(25000)=4850000 ден. ед. – максимальное значение дохода (прибыли).

Производитель реализует свою продукцию по цене р за единицу, а издержки при этом задаются кубической зависимостью Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Обозначим объем выпускаемой продукции через х. Составим функцию прибыли: где– валовой доход от реализуемой продукции. Исследуем эту функцию на экстремум.

Находим маргинальную прибыль:

Находим критические точки: откуда(вторую критическую точкуне рассматриваем по смыслу задачи).

Находим и определяем знак второй производной при:(в данном случаепри любом, т.к.по условию), следовательно, приприбыльZ(х) максимальна.

Находим максимум функции (т.е. максимальный размер прибыли)

Капитал в 1 млрд. ден. ед. может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом вр %. При каких значенияхрвложение в производство является более эффективным, чем чистое размещение капитала в банке?

Пусть х(млрд. ден. ед.) инвестируется в производство, а (1−х)размещается под проценты. Тогда размещенный капитал через год станет равным:

а капитал, вложенный в производство, определим по формуле

Издержки составят ах², так как по условию они задаются квадратичной зависимостью, т.е. прибыль от вложения в производство

Налоги составят , т.е. чистая прибыль окажется равной

Общая сумма через год составит

Требуется найти максимальное значение этой функции на отрезке [0; 1].

Находим первую производную

и приравниваем . Отсюда стационарнаяточка

, т.е.х₀ – точка максимума.

Чтобы необходимо выполнить условие

или р < 25.

Таким образом, если р >25, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. Если р < 25, то можно показать, что при х = х₀

т.е. вложение в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты.

73