- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одного аргумента Приращения функции и аргумента
- •Дифференцирование функции одной переменной (производная и дифференциал) Производная функции
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Примеры
- •Производная неявно заданной функции
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Логарифмическое дифференцирование (логарифмическая производная)
- •Дифференциал функции и дифференциал аргумента
- •Общий алгоритм определения производной функции
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Вычисление пределов по правилу Лопиталя
- •Пример – иллюстрирует случай неприменимости правила Лопиталя.
- •Примеры
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Использование понятия производной в экономике
- •Приложение производной в экономической теории
- •Примеры решения некоторых экономических задач
Основные правила дифференцирования
Обозначения: С − const, постоянная величина; U=U(x); V=V(x) – дифференцируемые функции.
Основные правила дифференцирования относятся к арифметическим операциям над функциями или, так называемыми, композициями функций вида: .
1 |
|
Производная постоянной равна нулю: |
|
2 |
|
Производная аргумента равна единице: |
|
3 |
|
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций: |
|
4 |
|
Производная произведения двух дифференцируемых функций: |
|
5 |
|
Постоянный множитель можно выносить за знак производной (следствие из 4): |
|
6 |
|
Производная частного двух дифференцируемых функций (при условии, что V 0): |
|
Из приведенных правил следует: ;.
Производная сложной функции
Пусть переменная у есть функция от переменной U: y = y(U), а переменная U, в свою очередь есть функция от переменной V: U = U(V), а переменная V – функция независимой переменной х: V = V(x) (эту цепочку можно было бы и продолжить).
Тогда переменная у(х) является сложной функцией (вложением функций) независимой переменной х: y = y(U(V(x))) ("сложена" из различных функций).
- Если все функции в цепочке дифференцируемы, то производная сложной функции по независимой переменной (аргументу) равна произведению производных по промежуточным аргументам:
.
Аналогичную формулу для дифференцирования сложной функции можно получить при любом уровне вложенности и любых обозначениях, если заметить закономерность: производные в произведении вычисляются "по порядку", так, как записаны в выражении для сложной функции.
Схема действий:
Еще один пример (попробуйте построить формулу сами и сравните, здесь аргумент функции – это t ):
Таблица производных основных элементарных функций
- Обратите внимание! При вычислении производных сложных функций в роли аргументахиз таблицы производных может выступать любая функция!
|
Функция |
Производная | |
1 |
Степенная |
|
= |
Частные случаи |
|
| |
|
| ||
2 |
Показательная |
|
= |
Экспонента |
|
= | |
3 |
Логарифмическая |
|
= |
Натуральный логарифм |
|
= | |
4 |
Тригонометрические: |
| |
синус |
|
| |
косинус |
|
| |
тангенс |
|
| |
котангенс |
|
| |
5 |
Обратные тригонометрические |
| |
арксинус |
|
| |
арккосинус |
|
| |
арктангенс |
|
| |
арккотангенс |
|
|
Примеры по вычислению производных различных функций – в разделе " Примеры выполнения обязательных заданий по теме 5 ".
На практике наиболее трудным оказывается дифференцирование сложной функции, когда необходимо правильно оценить порядок вложения функций. Поэтому здесь приведено несколько примеров. Напомним, что нижний индекс в записи показывает, по какой переменной вычисляется производная.