__________________________________________Тема 6. Примеры___
Примеры выполнения обязательных заданий по теме 6
Задание 1. Найти неопределенные интегралы.
,
Вычисление неопределенных интегралов № 1, №2 основано на методе "внесение под знак дифференциала" (см. теорию по теме 6, Методы интегрирования). В теоретической части приведена таблица основных вариантов таких внесений. В объяснениях к примерам приводятся формулы для конкретных случаев.
, Примеры
|
|
Для
приведения к табличным интегралам
выполняется тождественное преобразование:
|
|
|
|
Разбиваем
на сумму двух интегралов и вносим под
знак дифференциала
|
|
|
= = |
Получаем
табличные степенные интегралы вида
|
|
в числителе функции.
=
.
,
и
.
|
|
Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов. |
||
|
= |
Вносим
под знак дифференциала
|
||
|
= |
и
|
||
в первом интеграле
во втором. Получаем табличные интегралы:
логарифмический и степенной, при
.
|
|
Здесь
вносим под знак дифференциала
|
.
|
|
К
интегралу вида "арксинус" приводим,
внося под знак дифференциала
|
|
||
|
|
|
Вносим
под знак дифференциала
|
||
|
|
|
сумму двух интегралов. |
||
.
.
Разбиваем на
|
|
Разбиваем
на сумму двух интегралов. Вносим под
знак дифференциала
|
|
|
Первый
интеграл – степенной,
|
.
,
второй тригонометрический, вида
котангенс.
|
|
Разбиваем на сумму двух интегралов. |
||
|
|
Вносим под знак дифференциала: в первом интеграле |
||
|
|
|
||
=
,
во втором:
.
Оба полученных интеграла являются
степенными.
|
|
В числителе стоит производная знаменателя с обратным знаком: |
|
|
|
|
|
.
После внесения под знак дифференциала
получаем степенной интеграл,
.
|
|
Учтем,
что
и внесем производную под |
|
знак дифференциала. Получили логарифмический интеграл. |
|
- При выполнении данного задания следует повторить правила вычисления производных, особенно – производных сложных функций.
,
Неопределенные интегралы № 3, №4 вычисляются методом интегрирования по частям, № 4 – вместе с заменой переменной.
- 
- формула интегрирования по частям.
, ПРИМЕРЫ
|
|
В соответствии с рекомендациями, приведенными в теории, разби- |
|
|
|
ваем
интеграл на части
|
|
|
|
делаем алгебраические преобразования и получаем ответ. |
|
|
-
Обратите
внимание на вычисление интеграла
("внесение под знак дифференциала"):
|
||
и
,
,
произвольная постоянная прибавляется
только один раз.
|
|
|
||||
|
|
Аналогично предыдущему интегралу. |
|
|||
|
- Обратите внимание на вычисление интеграла ("внесение под знак дифференциала"):
|
|
||||
|
|
|
Разбиваем на части в соответствии с рекомендациями. |
|||
|
|
|
Для
вычисления интеграла
|
|||
|
|
|
Разбиваем на два интеграла. |
|||
,
или
,
произвольная постоянная прибавляется
только один раз. 
в числителе.
|
|
Разбиваем на части в соответствии с рекомендациями. |
|
|
Полученный интеграл – из неосновной таблицы. |
|
- Обратите внимание на вычисление интегралов ("внесение под знак дифференциала"):
|
|
,
.
|
|
Разбиваем на части в соответствии с рекомендациями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
.
|
|
Разложим синус двойного угла и внесем под знак дифференциала. |
|
|
Заменим переменную. |
|
|
Интегрируем по частям, переходим к старой переменной. |
|
|
|
|
|
Внесем под знак дифференциала. |
||
|
|
Заменим переменную. |
||
|
|
Интегрируем по частям. Табличный интеграл:
|
||
|
|
|||
|
|
. Переходим от вспомогательной переменной у к старой переменной х. |
||
.
|
|
Заменим переменную. |
|
|
|
Интегрируем по частям. |
|
|
|
Переходим к основной переменной х . |
|
- Аналогично примерам 6 - 8 вычисляются, например, такие интегралы:
и
далее – по частям.
При вычислении интеграла № 5 используется прием: выделение полного квадрата. С помощью такого приема можно вычислять интегралы вида:
|
|
|
|
|
|
с
квадратным трехчленом в некоторой
степени в знаменателе, где
- выделенный полный квадрат (
).