Исследование функций и построение их графиков

1

Область

допустимых значений (D(x), ОДЗ)

Это такие значения независимой переменной х, при которых функция существует. Подробно вопрос определения области допустимых значений рассматривается в курсе средней школы.

2

Нули функции и точки пересечения с осью ОУ

Нули функции – точки, в которых у = 0 (пересечения с осью ОХ).Эти точки разделяют интервалы, в которых функция сохраняет знак. Полученные точки помогают строить график.

3

Четная,

нечетная, общего вида

График четной функции: симметричен относительно оси ОУ.

График нечетной функции: симметричен относительно начала координат.

4

Исследование точек разрыва и поведения функции на границах ОДЗ

См. тему 4, классификация точек разрыва. В точках разрыва второго рода находятся вертикальные асимптоты функции.

5

Наклонные и

горизонтальные

асимптоты

функции

 Теорема. Для того, чтобы прямая былаасимптотой функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы: и.

 Пределы вычисляются отдельно для и. Поэтому наибольшее количество асимптот – две. Если хотя бы один предел бесконечен или не существует, соответствующей асимптоты нет.

1

Точки возможных экстремумов − критические точки

Это точки, в которых (стационарные), или , илине существует. Критические точки и точки разрывов разделяют интервалы монотонности функции.

2

Интервалы возрастания / убывания (монотонности). Обозначения:  - возрастает,  - убывает

 Теорема. Для того, чтобы на некотором интервале непрерывная, имеющая непрерывную производную функция быламонотонна, необходимо и достаточно, чтобы ее первая производная сохраняла знак на этом интервале.

, или на

3

Экстремумы (max / min)

 Теорема 1. Для того, чтобы в любой критической точке существовал экстремум, необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции меняла знак при переходе через эту точку.

 Теорема 2. Для того, чтобы в стационарной точке существовал экстремум, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная функции сохраняла знак в этой точке.

1

Точки

возможного перегиба

графика функции

Это точки, в которых , или, илине существует. Точки перегиба разделяют интервалы выпуклости / вогнутости функции.

2

Интервалы выпуклости / вогнутости. Обозначения:  - вогнута,  - выпукла

 Теорема. Для того, чтобы на некотором интервале непрерывная, дважды дифференцируемая функция была выпукла / вогнута/, необходимо и достаточно, чтобы ее вторая производная сохраняла знак на этом интервале.

, или .