Примеры
|
|
В этом примере функция "сложена" из показательной (3х), роль х играет sin(x), и тригонометрической (sin(x)) функций. |
|
|
Здесь нижний индекс производной показывает, по какой переменной она вычисляется. |
|
|
По таблице производных находим производные соответствующих функций и перемножаем их. |
;
|
|
Функция
"сложена" из арктангенса (arctg
x), квадратного
корня
| ||
|
|
По таблице находим производные, учитывая, что в | ||
|
|
роли х выступают различные функции (показаны нижним индексом). Перемножаем табличные производные выделенных функций. | ||
и линейной функции (2х
− 1).
После вычисления производных не следует делать никаких алгебраических преобразований.
Производная неявно заданной функции
- Если функция задается общим выражением относительно переменных x и y, то она называется заданной неявно:
F(x, y) = 0,
(Сравните с явно заданной функцией: y = y(x)).
- Чтобы
найти производную
,
функции, заданной неявно, надо найти
производную по переменнойх
обеих частей выражения, задающего
функцию.
Затем
полученное алгебраическое уравнение
относительно производной разрешают
относительно
.
- При этом следует учитывать, что переменная y зависит от x ( y = y(x)), и вычислять производную от F(x, y(х)), как от сложной функции.
ПРИМЕР
Найти
производную
неявно заданной функции:
.
Найдем производные по х от левой и правой частей равенства, неявно задающего функцию y = y(x).
|
|
Здесь использованы правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5). |
|
|
Первое
слагаемое является произведением
функций: Используем правило дифференцирования произведения (правило 4). Второе и третье слагаемые дифференцируются как сложные функции. |
|
|
Из полученного уравнения с помощью алгебраических преобразований выделяется производная. |
|
| |
и
.
Производная функции, заданной параметрически
- Задание
функции в параметрическом виде
определяется соотношением:
,
то есть переменныех
и у задаются
как функции третьей переменной t
, которая называется параметром.
- Чтобы
найти производную параметрически
заданной функции, используют следующую
формулу:
.
ПРИМЕР
Найти
производную
параметрически заданной функции:
в точке М(0; а). Вначале найдем производные по параметру t от x(t) и у(t).
|
|
Используем правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5), а также дифференцирования сложной функции. |
|
|
По
формуле найдем производную
|
|
|
В заданной точке М: х = 0; у=а; поэтому для определения значения параметра t, соответствующего точке М, следует решить систему. |
|
|
Выбираем только те корни, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы, и находим значение производной в точке М |
|
-
Если значение
производной функции в некоторой точке
,
то это означает, что график функции в
этой точке имеет касательную,
расположенную вертикально ( по
геометрическому смыслу: производная
функции в точке численно равна тангенсу
угла наклона касательной
| |
;
.
и
).