•В процессе жизненного цикла клетка удваивает свое

содержимое и делится на две. В организме Клеточныемлекопитающего для поддержанияциклыжизни. производятся

ежесекундно миллионы новых клеток.

•Нарушение регуляции пролиферации клеток проявляется как онкологическое заболевание. Этим вызван большой интерес к изучению и моделированию механизмов регуляции клеточного деления.

•Схема клеточного цикла изображена на рис. 8.17. Клеточный цикл состоит из двух периодов: митоз (М фаза) включает разделение предварительно удвоенного ядерного материала, деление ядра и деление самой клетки цитокинез и занимает около часа.

•Значительно более длительный период между двумя митозами занимает интерфаза, включающая стадию роста G1, фазу репликации ДНК (S), фазу подготовки к делению G2. Клеточный цикл (рис.8.17) регулируется генами и белками-ферментами двух основных классов.

•Циклин-зависимые протеин киназы (Cdk) индуцируют последовательность процессов путем фосфорилирования отдельных белков.

•Циклины, которые синтезируются и деградируют при каждом новом цикле деления, связываются с молекулами Cdk и контролируют их способность к фосфорилированию, без циклина Cdk не активны. Количество этих молекул регуляторов различно в разного вида клетках.

•В делении дрожжевой клетки основные роли играют один Cdk и девять циклинов, которые образуют девять разных циклин Cdk комплексов. У гораздо более сложно организованных млекопитающих изучено шесть Cdk и полтора десятка циклинов. Контроль выхода клетки из G1, и G2 фаз осуществляют промотор фактор S фазы (SPF) и промотор фактор M фазы (MPF), представляющие собой гетеродимеры. Cуществует особая контрольная точка клеточного цикла (Start), с которой заканчивается рост (G1 фаза) и начинается процесс синтеза ДНК.

•Простая модель процесса предложена Тайсоном (Tyson, 1995). Постулируется существование фактора транскрипции SBF, который может быть в активной Sa и пассивной Si форме.

•Он переходит в активную форму под действием циклина Cln (N) и Start киназы (Cdc28-Cln3) (A) и инактивируется другим веществом (Е). Циклин продуцируется путем активации SBF и деградирует. SBF активируется Chu и Start-киназой и инактивируется фосфатазой. Безразмерная модель процессов имеет вид:

(8.13)

•Модель имеет одно или три стационарных решения (два устойчивых)

взависимости от значений параметров, и при увеличении параметра(в процессе роста клетки) описывает переключение системы из G1

вS фазу.

•Добавление двух уравнений сходного вида позволяет описать также переключение из G2 в фазу митоза М. Полная модель, учитывающая и другие регуляторные ферменты в фосфорилированной и дефосфорилированной форме содержит 9 нелинейных уравнений (Novak, Tyson 1993) и хорошо описывает кинетику деления ооцитов Xenopus. При соответствующем подборе параметров она применима к описанию деления других типов клеток.

•Большое количество работ было посвящено попыткам моделирования периодического воздействия на клеточный цикл с целью оптимизации параметров рентгено радио или хемотерапии при воздействии на клетки онкологических опухолей.

•В современной литературе по математической биологии рассмотрены сотни автоколебательных систем на разных уровнях организации живой природы. Несомненно, колебательный характер процессов — эволюционное изобретение природы, и их функциональная роль имеет несколько разных аспектов.

•Во-первых колебания позволяют разделить процессы во времени, когда в одном компартменте клетки протекает сразу несколько различных реакций, организуя периоды высокой и низкой активности отдельных метаболитов. Во-вторых, характеристики колебаний, их амплитуда и фаза, несут определенную информацию и могут играть регуляторную роль в каскадах процессов, проходящих на уровне клетки и живого организма. Наконец, колебательные (потенциально или реально) системы служат локальными элементами распределенных активных сред, способных к пространственно временной самоорганизации, в том числе к процессам морфогенеза. Эту роль колебательных систем мы подробно рассмотрим во второй части лекций.

ЛЕКЦИЯ 9

МОДЕЛИ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ВИДОВ

•Основателем современной математической теории популяций справедливо считается итальянский математик Вито Вольтерра, разработавший математическую теорию биологических сообществ, аппаратом которой служат дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. (Vito Volterra. Lecons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie. Paris, 1931).

•В последующие десятилетия популяционная динамика развивалась, в основном, в русле высказанных в этой книге идей. Русский перевод книги Вольтерра вышел в 1976 г. под названием: «Математическая теория борьбы за существование» с послесловием Ю.М. Свирежева, в котором рассматривается история развития математической экологии в период 1931 1976 гг.

•Книга Вольтерра написана так, как пишут книги по математике. В ней сначала сформулированы некоторые предположения о математических объектах, которые предполагается изучать, а затем проводится математическое исследование свойств этих объектов.

•Системы, изученные Вольтерра, состоят их двух или нескольких видов. В отдельных случаях рассматривается запас используемой пищи. В основу уравнений, описывающих взаимодействие этих видов, положены следующие представления.

•Гипотезы Вольтерра

•1. Пища либо имеется в неограниченном количестве, либо ее поступление с течением времени жестко регламентировано.

•2. Особи каждого вида отмирают так, что в единицу времени погибает постоянная доля существующих особей.

•3. Хищные виды поедают жертв, причем в единицу времени количество съеденных жертв всегда пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т.е. произведению количества хищников на количество жертв.

•4. Если имеется пища в ограниченном количестве и несколько видов, которые способны ее потреблять, то доля пищи, потребляемой видом в единицу времени, пропорциональна количеству особей этого вида, взятому с некоторым коэффициентом, зависящим от вида (модели межвидовой конкуренции).

•5. Если вид питается пищей, имеющейся в неограниченном количестве, прирост численности вида в единицу времени пропорционален численности вида.

•6. Если вид питается пищей, имеющейся в ограниченном количестве, то его размножение регулируется скоростью потребления пищи, т.е. за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи.

•Аналогии с химической кинетикой

•Эти гипотезы имеют близкие параллели с химической кинетикой. В уравнениях популяционной динамики, как и в уравнениях химической кинетики, используется “принцип соударений”, когда скорость реакции пропорциональна произведению концентраций реагирующих компонентов.

•Действительно, согласно гипотезам Вольтерра, скорость процесса отмирания каждого вида пропорциональна численности вида. В химической кинетике это соответствует мономолекулярной реакции распада некоторого вещества, а в математической модели – отрицательным линейным членам в правых частях уравнений.

•Согласно представлениям химической кинетики, скорость бимолекулярной реакции взаимодействия двух веществ пропорциональна вероятности столкновения этих веществ, т.е. произведению их концентрации. Точно так же, в соответствии с гипотезами Вольтерра, скорость размножения хищников (гибели жертв) пропорциональна вероятности встреч особей хищника и жертвы, т.е. произведению их численностей. И в том и в другом случае в модельной системе появляются билинейные члены в правых частях соответствующих уравнений.

•Наконец, линейные положительные члены в правых частях уравнений Вольтерра, отвечающие росту популяций в неограниченных условиях, соответствуют автокаталитическим членам химических реакций. Такое сходство уравнений в химических и экологических моделях позволяет применить для математического моделирования кинетики популяций те же методы исследований, что и для систем химических реакций.

•В соответствии с гипотезами Вольтерра взаимодействие двух видов, численности которых x1 и x2, могут быть описаны уравнениями:

(9.1)

•Здесь параметры ai константы собственной скорости роста видов, ci константы самоограничения численности (внутривидовой конкуренции), bij константы взаимодействия видов, (i, j=1,2). Знаки этих коэффициентов определяют тип взаимодействия.