•Неустойчивый предельный цикл также может содержаться в фазовом портрете грубых систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу, он играет лишь роль «водораздела», по обе стороны которого траектории имеют различное поведение. Например, на рис. 8.5 представляет собой сепаратрису, отделяющую область тяготения траекторий к устойчивой особой точке, с одной стороны, и к устойчивому предельному циклу, с другой.

•

•Существование предельных циклов возможно лишь в системе

типа (8.1), правые части которой представлены нелинейными

Рождениефункциями.предельного цикла. Бифуркация

Андронова•На бифуркационной-Хопфадиаграмме. 4.11 мы видели, что при пересечении оси абсцисс происходит смена устойчивости фокуса. Нулевым значениям действительной части характеристических чисел (ляпуновских показателей) соответствует особая точка типа центр. В нелинейной системе, где возникает неустойчивый фокус, при этом возможно рождение предельного цикла. Такой переход легко проследить в «модельной» системе:

(8.3)

•Схематически возникновение предельного цикла в системе (8.3) изображено на фазопараметрической диаграмме на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Закритическая (суперкритическая) бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое возбуждение. При с>0 возникают автоколебания, амплитуда которых растет с увеличением с.

•Выполнению условия Re 1,2 = 0, причем Im 1,2 0, соответствует бифуркация Андронова–Хопфа или бифуркация рождения (исчезновения) предельного цикла. Бифуркация впервые была исследована

А.А. Андроновым для случая N = 2 и обобщена Е. Хопфом на системы с произвольной размерностью. (Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., Наука, 1981; Hopf E., 1942)

•Существуют два типа бифуркации Андронова–Хопфа. Только что мы рассмотрели суперкритическую бифуркацию (мягкое возбуждение автоколебаний). Возможна также субкритическая бифуркация (жесткое возбуждение автоколебаний). В этом случае при бифуркационном значении параметра устойчивый фокус теряет устойчивость из-за «влипания» в него неустойчивого предельного цикла (рис. 8.7). Фокус становится неустойчивым, а аттрактором при этом может стать предельный цикл большой амплитуды.

•«Модельной» системой (см. лекция 6), описывающей рождение предельного цикла при жестком возбуждении, является система:

(8.4)

•Приравняв правую часть первого уравнения нулю, получим стационарные значения r:

•Ветвь r = 0 устойчива при c < 0 и неустойчива при c > 0.

•При с > –1 стационарное решение

устойчивый предельный цикл.

•При –1 < с < 0 стационарное решение

неустойчивый предельный цикл.

•Рассмотрим, что произойдет, если двигаться по параметру с, начиная

сотрицательных значений (Рис.8.8).

•Первоначально имеется единственное устойчивое стационарное состояние r = 0, колебаний нет.

•При c > –1 существует также устойчивый предельный цикл, но система не покидает своего устойчивого стационарного состояния.

•Однако после того как с становится положительным, стационарное состояние становится неустойчивым, и происходит резкий скачок к устойчивому предельному циклу.

•В системе начинаются колебания сразу большой амплитуды. Если двигаться от положительных значений с к отрицательным, колебания большой амплитуды сохраняются до тех пор, пока с не станет меньше –1, а затем внезапно исчезнут.

•Таким образом при –1 < с < 0 могут существовать два различных типа поведения. Какой из них реализуется, зависит от предыстории системы.

•Такой феномен называется эффектом гистерезиса.

•При увеличении параметра с и его переходе через ноль скачком возникают устойчивые автоколебания конечной амплитуды и частоты. Для промежуточных значений параметра с существуют два типа устойчивого поведения (два аттрактора) устойчивое стационарное состояние и устойчивый предельный цикл.

•Винфри (Winfree A.T.) назвал области, в которых возможны два режима: устойчивая точка покоя и предельный цикл, черной дырой (рис. 8.8 б). В этой области параметров можно так приложить возмущение к колебательной системе, что она попадет в область притяжения точки покоя, что приведет к прекращению колебаний. В частности, это показано для уравнений Ходжкина– Хаксли, моделирующих проведение нервного импульса (см. ниже).