•Хотя тримолекулярная стадия в химической кинетике не столь распространена, как бимолекулярные процессы, выражения для скорости ряда биохимических реакций в определенных случаях можно свести к кубическому виду. В качестве примера приведем следующую последовательность ферментативных реакций:

•X + E EX

•EX + Y XY

•EXY + X EX2Y

•Здесь предполагается что фермент E имеет по крайней мере три каталитических центра, способных одновременно фиксировать две молекулы X и одну молекулу Y. Если образующиеся комплексы распадаются с достаточно большой скоростью, а ферменты присутствуют в небольших количествах, легко показать, что всю последовательность реакций можно свести к одной стадии, дающей нелинейный член типа X 2Y в выражении для скорости реакции.

•Брюсселятор представляет собой следующую схему гипотетических химических реакций:

•Здесь А, В — исходные вещества, C, R — продукты, X, Y — промежуточные вещества.

•Пусть конечные продукты С и R немедленно удаляются из реакционного пространства. Это означает, что обратные константы k 3 = k 4 = 0. Если субстрат A находится в избытке, k 1 = 0. Предположим также, что k 2 = 0. Значения остальных констант положим равными единице. Тогда схема реакций 9.2 (в случае точечной системы) описывается системой уравнений:

(8.6)

•Модель (8.5) имеет одну особую точку с координатами: (8.7)

•Исследуем стационарное решение (8.6) на устойчивость по методу Ляпунова. Введем переменные, характеризующие отклонения от особой точки:

•Линеаризованная система имеет вид:

•Характеристическое уравнение

•или

•2 + (A2 + 1 - B) + A2 = 0

•имеет корни: (8.7)

•Напомним, что особая точка является устойчивой, если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны.

•Из выражения (8.7) видно, что при B < 1 + A2 особая точка (8.6) устойчива.

•Если же B > 1 + A2 особая точка становится неустойчивой, и у системы (8.5) появляется устойчивый предельный цикл. Значение B = 1 + A2 является бифуркационным.

•Если величина B лишь немного превосходит бифуркационный порог, автоколебания в системе носят квазигармонический характер.

•Таким образом, брюсселятор при выполнении условияявляется автоколебательной системой. Фазовый портрет брюсселятора при разных значениях параметров изображен на рис. 8.9

•Здесь мы приведем краткий обзор нескольких «успешных» моделей колебательных биологических процессов. Более подробно некоторые колебательные процессы будут рассмотрены в лекциях 9, 11, 12.

Модель•Одной из темновыхпервых моделей,процессовописывающихфотосинтезаколебательный. процесс в живой системе, была модель темновых

процессов фотосинтеза, предложенная и исследованная Д.С.Чернавским с сотрудниками (1967). Модель является примером системы второго порядка с квадратичными правыми частями, в которой возникают автоколебания (существует предельный цикл) и допускает полное аналитической исследование (Белюстина, 1967)

•Известно, что в условиях смены дня и ночи интенсивность фотосинтеза, то есть скорость выделения кислорода и поглощения СО2 изменяется

периодически (рис.8.10 а).

•Если растение поместить в условия непрерывной освещенности, то периодичность в интенсивности фотосинтеза с периодом несколько часов сохраняется достаточно длительное время.

•По-видимому, растение имеет свой внутренний ритм, синхронизованный с периодическим внешним воздействием.

•Напомним, что в процесс фотосинтеза входят световой и темновой циклы химических реакций.

•Первый включает поглощение энергии квантов света и, через ряд промежуточных стадий, приводит к образованию высокоэнергетических восстановленных химических соединений и богатых энергией молекул АТФ. Эти вещества употребляются в темновом цикле (цикле Кальвина), в котором свет непосредственно не участвует.

•Здесь происходит восстановление углекислоты СО2 с помощью веществ,

богатых энергией, и доноров водорода, полученных в световом цикле, и превращение ее в углеводы фруктозу и глюкозу (рис. 8.11).

•В цикле участвуют углеводы с различным содержанием углерода (индекс внизу означает число атомов углевода в молекуле).

•Все трехуглеродные сахара имеют общее название триозы (с3), пятиуглеродные (с5) пентозы, шестиуглеродные (с6) гексозы. Цикл замкнут, т.е. вещество, к которому первоначально присоединяется углекислота (акцептор СО2, обозначенный на рис. 8.8 символом с5) в результате реакции регенерируется.

•Самые простые сахара триозы непосредственно связаны со световым циклом, остальные сахара со световым циклом не связаны.

•Все реакции в цикле, за исключением первичной фиксации СО2 на рибулезе, бимолекулярные, и зависимость скорости реакции от концентрации описывается членами второго порядка.

•Для упрощения системы были выделены группы веществ, реакции между которыми протекают быстро и обратимо, легкие сахара (трехуглеродистые углеводы) и более тяжелые шестиуглеродные

сахара. Суммарная концентрация первых обозначалась условно с3, а вторых с6.

•Предполагалось, что прибыль тяжелых сахаров с6 может осуществляться за счет соединения двух легких с3. Их убыль, так же как и убыль тяжелых сахаров, происходит в результате бимолекулярного взаимодействия тяжелых и легких сахаров.

•Имеет место также приток продукта с3 в сферу реакции за счет биохимически сходных процессов (гликолиза, дыхания). Эти предположения приводят к системе уравнений: (8.9)