МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ИССЛЕДОВАНИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ•При аналитическомСТАЦИОНАРНОГОисследовании устойчивостиСОСТОЯНИЯ. стационарного состояния часто используется метод

подбора функции, линии уровня которой представляют собой замкнутые траектории – «ловушки» для фазовых траекторий системы типа (5.1)

•Этот метод применим к автономной системе уравнений n-го порядка

(5.21)

•где fi(0,0,…, 0) = 0, (i = 1,…, n).

•Он состоит в непосредственном исследовании устойчивости ее стационарного состояния при помощи подходящим образом подобранной функции Ляпунова .

•Метод основан на двух теоремах.

•Если существует дифференцируемая функция V (x1,…,xn),

удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим Теорема•условиям: 2

a) V(x1,…,xn) = 0 и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых V(x1,…,xn) > 0;

•б)

•причем лишь при x1 =…= xn = 0,

•то точка покоя системы (5.21) неустойчива.

•С доказательством этих теорем можно познакомиться в книге Л.Э. Эльсгольц «Теория дифференциальных уравнений» или в других учебниках по теории дифференциальных уравнений.

•Общего методы построения функции Ляпунова не существует. Однако для линейных автономных систем ее следует искать в

виде:

•и т.п., подбирая надлежащим образом коэффициенты a > 0, b > 0. Для нелинейных систем a и b могут быть произвольных знаков.

•1. Рассмотрим линейную систему:

Примеры

•Выберем функцию Ляпунова: V = x2+y2. Тогда

•Это выражение всегда отрицательно при х 0, т.к. в скобках стоят четные степени x. Следовательно, точка (0, 0) устойчива.

•В. Вольтерра показал, что стационарное состояние (5.23) устойчиво для параметров системы a > 0, b 1, построив функцию Ляпунова:

•Ее производная равна

•и отрицательна при малых значениях коэффициентов a, b и x, y > 0. Доказательство приведено в книге В. Вольтерра. «Математическая теория борьбы за существование» (М., 1976)

ЛЕКЦИЯ 6

ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТЕОРЕМА ТИХОНОВА. ТИПЫ БИФУРКАЦИЙ. КАТАСТРОФЫ

•Биологические системы включают большое число процессов с разными характерными временами, причем иерархия этих времен такова, что они различаются на много порядков.

•Примером такой иерархической системы является процесс фотосинтеза, который обеспечивает существование жизни на Земле.

•Благодаря фотосинтезу образуется органическое вещество из углекислого газа и воды с использованием энергии солнечного света и неорганических веществ из почвы и воды.

•Фотосинтез также служит источником земного кислорода, необходимого для дыхания всех аэробных организмов.

•Степень подробности моделирования изучаемых явлений зависит от цели моделирования.

•Однако в любом случае задача моделирования заключается в том, чтобы построить модель явления, содержащую возможно меньшее число переменных и произвольных параметров, и в то же время правильно отражающую свойства явления.

•Учет временной иерархии процессов позволяет сократить число дифференциальных уравнений.

•«Совсем медленные» переменные не меняются на временах рассматриваемых процессов, и их можно считать постоянными параметрами.

•Для «быстрых» переменных можно вместо дифференциальных уравнений записать алгебраические уравнения для их стационарных значений, поскольку «быстрые» переменные достигают своих стационарных значений практически мгновенно по сравнению с «медленными».

•Средние, быстрые и медленные времена.

•Пусть имеется три группы переменных с различными характерными временами:

•Переменные изменяются с разными характерными временами, причем

•Пусть мы наблюдаем за переменной y, характерное время изменения которой Ty. Тогда за время Ty «совсем медленная» переменная z практически не будет изменяться, и ее можно считать постоянным параметром, обозначим его z*.

•Система дифференциальных уравнений с учетом этого обстоятельства будет содержать два уравнения и может быть записана в виде:

•Отметим, что z* не является истинно стационарным значением, «медленная» переменная z будет продолжать меняться и «вести» за собой более быстрые переменные x и y. В этом смысле медленная переменная является ведущей, или «параметром порядка».

•Рассмотрим теперь уравнение для x. Эта «быстрая» переменная изменяется значительно быстрее, чем y, и за время Ty успеет достичь своего стационарного значения. Значит, для переменной x дифференциальное уравнение можно заменить алгебраическим:

P(x, y, z*) =0

•Или

•Таким образом, благодаря учету иерархии времен, исходную систему из трех дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному уравнению для переменной y:

•В химической кинетике метод такой редукции системы был впервые предложен Боденштейном и носит название метода квазистационарных концентраций (КСК).