где число слагаемых в k-й сумме равно Cnk , т.е. перебираются все возможные

сочетания из k слагаемых.

Доказательство. Используем метод математической индукции. Однако для экономии времени и места докажем переход от m слагаемых к m+1 для случая m = 2. Докажем, что

p(A1 + A2 + A3 ) = p(A1) + p(A2 ) + p(A3 ) + p(A1 A2 ) + p(A1 A2 ) + p(A1 A2 ) − p(A1 A2 A3 ) ,

если p(A1 + A2 ) = p( A1 ) + p(A2 ) − p(A1 A2 ) .

Обозначим B = A2 + A3 ,

p(A1 + A2 + A3 ) = p(A1 + B) = p(A1) + p(B) − p(A1B) = p(A1) + p(A2 + A3 ) − p(A1 A2 + A1 A3 ) = = p(A1) + p(A2 ) + p(A3 ) − p(A2 A3 ) − p(A1 A2 ) − p(A1 A3 ) + p(A1 A2 A3 ),

что и требовалось доказать.

На практике, с учетом того что p( A) =1 − p( A) , вероятность суммы n событий (если n > 2) удобнее вычислять по формуле

p(A1 + A2 +…+ An ) =1− p(A1 + A2 +…+ An ) =1− p(A1 A2 … An ) . (2.4)

Условная вероятность

Ранее случайное событие определялось как событие, которое при осуществлении совокупности условий (опыта) может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме этих условий, не налагается, то такую вероятность называют безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называется условной.

Проводится опыт со случайным исходом, в результате которого возможны два события А и В. Условной вероятностью p(В/А) называется вероятность события В, вычисленная при условии (в предположении), что событие А произошло.

Зависимые и независимые события

Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от того, произошло В или нет, т.е. критерий независимости

В противном случае, т.е. когда критерий не выполняется, событие А зависит от события В.

Зависимость и независимость всегда взаимны, т.е. если событие А не

Теоремы умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей для двух событий. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого:

Доказательство. Докажем (2.7) для схемы случаев. Пусть в опыте возможны n несовместимых и равновозможных исходов. Событию А соответствует m исходов, событию B – k исходов. В l исходах события А и В происходят одновременно.

k B

m А

…………………………………...

l АB n

Очевидно, что p ( A) = mn , p ( B ) = kn , p ( AB ) = nl (см. (1.1)). Вычислим

условную вероятность p(В|А), т.е. вероятность события В в предположении, что А произошло. Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятствовали

событию А. Из них l благоприятны событию В p(B/ A) = ml . Аналогично вычислим условную вероятность p(A/B), т.е. вероятность события A в

предположении, что B произошло: p(A / B) = kl .Подставим найденные вероятности в (2.7): nl = mn ml = kn kl ,

что и требовалось доказать. Очевидно, что безразлично, какое из событий считать первым, а какое вторым.

Теорема умножения вероятностей для n событий. Вероятность произведения n событий А1 …Аn равна

p(A1 A2 … An ) = p(A1) p(A2 / A1) p(A3 / A1 A2 ) … p(An / A1 A2 … An−1), (2.8)

где p(Ak / A1 … Ak −1) ) – вероятность появления события Ak, при условии что события A1, A2 , …, Ak−1 в данном опыте произошли.

Доказательство. Используем метод математической индукции. Однако для экономии времени и места докажем переход от m сомножителей к m+1 для

случая m = 2. Докажем, что p ( A1 A2 A3 ) = p ( A1 ) p ( A2 / A1 ) p ( A3 / A1 A2 ) ,

если p( A1 A2 ) = p( A1 ) p( A2 / A1 ) . Обозначим B = A1 A2 , тогда

p(A1 A2 A3 ) = p(BA3 ) = p(B) p(A3 / B) = p(A1 A2 ) p(A3 / A1 A2 ) = p(A1) p(A2 / A1) p(A3 / A1 A2 ) ,

что и требовалось доказать.

Если события А1 …Аn независимы, то вероятность произведения равна

Вероятность безотказной работы сети

Событие B – безотказная работа сети, состоящей из n независимо работающих элементов Ai. Надежность p(Ai ) = pi (вероятность безотказной

работы) каждого элемента известна. Необходимо определить вероятность безотказной работы сети в целом.

Рассмотрим последовательное соединение элементов: