Лекции
.pdfМОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Курс лекции
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
6 семестр
Лектор
Горицкий Юрий Александрович
Москва,2011
Лекция № 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
Введение.
Вмире существуют два типа процессов и явлений:
1.Детерминированные (закономерные, предсказуемые).
2.Недетерминированные (незакономерные, непредсказуемые).
Примеры. Детерминированные:
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i T |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H |
Tпадения |
|
2H |
С |
|
|
U |
||||
|
|
||||||||||
C |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
g |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Недетерминированные:
Время горения электрической лампы. Число вызовов на АТС за время Т. Бросание монеты или кости.
Заметим, что в действительности, любой процесс имеет и детерминированную и недетерминированную составляющую.
Основные понятия.
Рассматриваемая схема:
Есть эксперимент, результат которого заранее неизвестен, непредсказуем, изменяется при повторении эксперимента. Однако известно множество всех возможных исходов (результатов) эксперимента – пространство
элементарных исходов.
10. Случайное событие.
Определение 1.
Неформальное.
Случайным называется событие, которое может произойти (появиться, иметь место) или не произойти в результате эксперимента.
Случайное событие – предположение относительно результата |
||||||
эксперимента. |
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
Бросание игральной кости. |
|
|
|
|||
Г1, Г2 , ..., Г6 1, |
2, 3, 4, |
5, 6 |
|
|
|
|
Случайное событие |
|
|
появление |
A 2, 4, |
6 , |
A |
A |
|
|||||
|
|
чётног о числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайному событию поставим в соответствие A множество исходов, на которых случайное предположение A реализуется. Это можно сделать всегда.
Определение 2.
Формальное.
Случайное событие – подмножество возможных исходов эксперимента.
Определение 3.
Два случайных события A и B называются эквивалентными, если им соответствует одно и то же подмножество множества .
Пример.
|
появление |
|
1, 3, |
5 |
A |
|
|
||
нечётног о числа |
|
|
появление простог о, |
1, 3, |
5 |
||
A |
не равног о 2 |
|
||
|
|
|
|
Всюду далее, говоря о событиях, будем подразумевать случайные события.
Определение 4.
Событие называется достоверным, если оно имеет место при любом исходе эксперимента. Достоверному событию соответствует всё множество .
Определение 5.
Событие называется невозможным, если оно не появляется ни при одном исходе эксперимента. Невозможному событию соответствует пустое множество Ø.
Определение 6.
Событие C называется суммой (объединением) событий A и B, если оно состоит в появлении хотя бы одного из них.
С A B A B
АB
Определение 7.
Событие C называется произведением (пересечением) событий A и B, если оно состоит в одновременном появлении A и B.
СA B A B
АB
Определение 8.
Два события называются несовместными, если их одновременное появление невозможно.
A B Ø
Определение 9.
Говорят, что событие A влечёт B, если при каждом появлении A появляется
B.
A B или A B
Определение 10.
Событие C называется разностью событий A и B, если оно состоит в появлении A и не появлении B.
C A B A \ B
АB
Определение 11.
Событие A называется противоположным к A, если оно состоит в не появлении A.
A \ A
A A
Определение 12.
Система событий A1, A2 , ..., An , ... называется полной группой событий, если в результате эксперимента хотя бы одно из них имеет место, и только одно.
Ai A1 A2 ... An ... , |
Ai Aj Ø, i j |
20. Вероятность случайного события.
Физические предпосылки этого понятия. Эмпирический факт:
Пусть имеется эксперимент, пространство элементарных исходов , случайное событие A. Повторим n раз этот эксперимент.
– количество появлений события A при n испытаниях (частота появления A).
f A n A n – относительная частота появления A.
n
Эксперимент: бросание монеты.
орёл, решка
появление
A орла
f A n
1
f A n 1/ 2
Эксперимент: бросание кости.
1, 2, 3, 4, 5, 6
появление
B шестёрки
fB n
1
fB n 1/ 6
Определение 13.
Неформальное.
Статистически, вероятность – объективная характеристика случайного события, дающая представление о том, как часто появляется событие при многократном проведении опыта.
P A lim A n
n n
Аксиомы вероятности (свойства предела P A lim A n ):
1. P A 0 , так как A n 0, n .
n n
2. Вероятность достоверного события P 1.
3. Если A и B несовместны, т. е. A B |
Ø, то P A B P A P B . |
||||||||||||||
P A B lim |
A B n |
|
lim |
|
A n B n |
|
lim |
|
A n |
|
lim |
|
B n |
|
P A P B |
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|||||||||
n |
n |
|
n |
|
n |
|
|
Определение 14.
Аксиоматическое.
Числовая функция P(A), вверенная на , обладающая свойствами 1, 2, 3 и 3а
называется вероятностной.
3а. Расширенная аксиома сложения:
Если |
Ai Aj |
Ø, |
i j , то вероятность счётного объединения |
|||
|
|
|
|
P A . |
|
|
P |
A |
|
|
|||
i |
|
|
i |
|
||
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
Замечание.
Механическим аналогом вероятности является вес.
30. Вероятностное пространство.
Вероятностное пространство – тройка , S, P , где S – система случайных
событий (область определения P).
Требования к системе событий S:
1. S
A B S 2. A S, B S A B S
A S, B S
2а. Расширенная.
Для счётного числа событий A1, A2 , ..., An , ... , если
Ai S Ai S, Ai S .
i 1 |
i 1 |
|
|
|
40. Следствия определения вероятности. |
|
|||
1. P (Ø) 0 |
|
|
|
|
(2) |
3 |
2 |
|
|
1 P |
P( Ø ) P P( Ø) 1 |
P( Ø ) P (Ø) 0 |
2.P A 1 P A
3.P A 1
4.A B P A P B
5.Формула сложения вероятностей: P A B P A P B P A B .
Следствие.
Вероятность суммы меньше или равна сумме вероятностей.
P A B P A P B
5а. Обобщение.
n |
|
|
n |
P A |
|
P A A |
|
|
P A A |
A |
... 1 n 1 P A A ... A |
|
P |
A |
|
|
|
||||||||
i |
|
i |
i j |
|
i j |
k |
1 2 |
n |
||||
i1 |
|
|
i1 |
|
i j |
|
|
i j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
i j k |
|
|
|
50. Классическая схема определения вероятности.
Предположения:
1.Количество элементов в конечно, т. е. n .
2.Все исходы равноправны (равно возможны, равновероятны).
Тогда P |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|||
1 P P |
|
|
|
|
|
P n p p |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
i |
n |
|
||||||||
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
i1 |
|
|
|||||||
|
A |
|
k P A k |
1 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда все исходы равновероятны, вероятность каждого из них равна отношению событий, благоприятных к наступлению, к общему числу исходов.
Обобщение.
Рассмотрим полную группу равноправных (равно возможных,
равновероятных) событий A , A , ..., |
A |
, т. е. P A |
1 |
, тогда |
||
|
||||||
1 2 |
m |
|
i |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
B Ai S P B |
|
|
|
|||
m |
|
|
||||
S 1 |
|
|
|
|
r – количество событий из полной группы, благоприятствующей событию B. m – общее количество событий.
Пример.
В ящике всего N шаров, из них K штук белые. Эксперимент: случайно вынимаются все шары из ящика. Какова вероятность на втором месте вытащить белый шар?
I способ.
|
|
|
N! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
на втором месте |
||
|
A |
белый шар |
|
||
|
|
|
|
|
|
A |
|
K N 1 ! |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
P A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
K N 1 ! |
|
K |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N! |
N |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II способ.
Рассмотрим следующую систему событий:
|
|
|
на втором |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
||
|
|
месте шар № 1 |
|
|||
|
|
|
на втором |
|
||
A |
|
|||||
|
|
|
||||
2 |
|
|
||||
|
|
месте шар № |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на втором |
|
|
|
AN |
|
|
||||
|
месте шар № N |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Это группа является полной, т. к. события равноправны.
K
A Ai S
S 1
P A KN
60. Геометрические вероятности.
Рассмотрим пространство Rn .
Эксперимент бросание случайной в область D Rn точки. Все точки области D равноправны, т. е. вероятность попасть в подобласть g D зависит только
от её размера.
P попасть в g f mes g
Следовательно, вероятность попадания в равна отношению размеров подобласти g D ко всей области D .
mes g P попасть в g
mes D
D
g
Поделим область g на две подобласти,т.е. g g1 g2 , g1 g2 Ø,тогда
P попасть в g P попасть в g1 g2 f mes g1 g2 f mes g1 mes g2 |
1 |
|||||||
Попадание в g |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
несовместные события [по аксиоме 3] |
|
|||||
Попадание в g |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P попасть в g P попасть в g1 g2 P попасть в g1 P попасть в g2 |
|
|||||||
f mes g1 f mes g2 |
2 |
|
|
|
||||
1 2 f mes g1 |
mes g2 |
f mes g1 |
f |
mes g2 f x Cx линейная функция. |
||||
P попасть в g f |
mes g C mes g |
3 |
|
|||||
1 P папасть в D |
C mes D C |
|
1 |
4 |
|
|||
|
|
|||||||
mes D |
|
3 , 4 P попасть в g mesmes Dg
Пример.
Два товарища A и B договорились встретиться в одном месте. Каждый приходит в любой момент между 12 и 13 часами и ждёт 20 минут. Какова вероятность того, что встреча произойдёт?
x – момент прихода A, x 0,1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||
y – момент прихода B, y 0,1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||
x, y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
C встреча |
|
x, y x y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 2 |
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
S C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
P C S |
|
1 |
9 |
|
|
|
С |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1/3 |
2/3 |
1 |
x |
Лекция № 2.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
10. Определение условной вероятности.
Пример.
10 пронумерованных шаров в ящике. Случайно извлекается один шар. |
||||
1,2,...,10 |
|
|
|
|
нечётный |
|
|
||
A' |
шар |
A 1,3,5,7,9 |
||
|
|
|
|
|
номер |
целое, |
A 3,6,9 |
||
B' |
кратное 3 |
|
||
|
|
|
Эксперимент проведён, но его результат не известен. Но известно, что событие B имеет место. Каковы шансы, что и событие A имеет место?
Ответ: 23
P A / B |
|
|
AB |
|
/ |
|
|
|
|
|
P AB |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
/ |
|
|
|
|
|
P B |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определение 1. |
|
|
||||||||||||||||||
Отношение |
P AB |
называется условной вероятностью события A при |
||||||||||||||||||
|
|
|
P B |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условии осуществления события B и обозначается P A / B , при условии
P B 0 .
Будем рассматривать различные события A. Тогда каждому A поставим в соответствие числовую функцию P A/ B PB A , вверенную на подмножествах
из .
Аксиомы:
1.PB A 0
2.PB 1
P P B 1
B P B
3. A1 A2 Ø PB A1 A2 PB A1 PB A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
PB A1 A2 |
P A1 A2 |
B |
|
P A1 B A2 |
B |
|
P A1 B P A2 |
B |
|
|||||||||||
|
P B |
|
|
P B |
|
|
P B |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P A1 |
B |
|
P A2 B |
PB |
A1 |
PB A2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P B |
|
|
P B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|