Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции

.pdf
Скачиваний:
55
Добавлен:
28.06.2014
Размер:
745.72 Кб
Скачать

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Курс лекции

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

6 семестр

Лектор

Горицкий Юрий Александрович

Москва,2011

Лекция № 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Введение.

Вмире существуют два типа процессов и явлений:

1.Детерминированные (закономерные, предсказуемые).

2.Недетерминированные (незакономерные, непредсказуемые).

Примеры. Детерминированные:

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

Tпадения

 

2H

С

 

 

U

 

 

C

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Недетерминированные:

Время горения электрической лампы. Число вызовов на АТС за время Т. Бросание монеты или кости.

Заметим, что в действительности, любой процесс имеет и детерминированную и недетерминированную составляющую.

Основные понятия.

Рассматриваемая схема:

Есть эксперимент, результат которого заранее неизвестен, непредсказуем, изменяется при повторении эксперимента. Однако известно множество всех возможных исходов (результатов) эксперимента – пространство

элементарных исходов.

10. Случайное событие.

Определение 1.

Неформальное.

Случайным называется событие, которое может произойти (появиться, иметь место) или не произойти в результате эксперимента.

A A : A реализуется , A

Случайное событие – предположение относительно результата

эксперимента.

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

Бросание игральной кости.

 

 

 

Г1, Г2 , ..., Г6 1,

2, 3, 4,

5, 6

 

 

 

Случайное событие

 

 

появление

A 2, 4,

6 ,

A

A

 

 

 

чётног о числа

 

 

 

 

 

 

 

 

Случайному событию поставим в соответствие A множество исходов, на которых случайное предположение A реализуется. Это можно сделать всегда.

Определение 2.

Формальное.

Случайное событие – подмножество возможных исходов эксперимента.

Определение 3.

Два случайных события A и B называются эквивалентными, если им соответствует одно и то же подмножество множества .

Пример.

 

появление

 

1, 3,

5

A

 

 

нечётног о числа

 

 

появление простог о,

1, 3,

5

A

не равног о 2

 

 

 

 

 

Всюду далее, говоря о событиях, будем подразумевать случайные события.

Определение 4.

Событие называется достоверным, если оно имеет место при любом исходе эксперимента. Достоверному событию соответствует всё множество .

Определение 5.

Событие называется невозможным, если оно не появляется ни при одном исходе эксперимента. Невозможному событию соответствует пустое множество Ø.

Определение 6.

Событие C называется суммой (объединением) событий A и B, если оно состоит в появлении хотя бы одного из них.

С A B A B

АB

Определение 7.

Событие C называется произведением (пересечением) событий A и B, если оно состоит в одновременном появлении A и B.

СA B A B

АB

Определение 8.

Два события называются несовместными, если их одновременное появление невозможно.

A B Ø

Определение 9.

Говорят, что событие A влечёт B, если при каждом появлении A появляется

B.

A B или A B

Определение 10.

Событие C называется разностью событий A и B, если оно состоит в появлении A и не появлении B.

C A B A \ B

АB

Определение 11.

Событие A называется противоположным к A, если оно состоит в не появлении A.

A \ A

A A

Определение 12.

Система событий A1, A2 , ..., An , ... называется полной группой событий, если в результате эксперимента хотя бы одно из них имеет место, и только одно.

Ai A1 A2 ... An ... ,

Ai Aj Ø, i j

20. Вероятность случайного события.

A n

Физические предпосылки этого понятия. Эмпирический факт:

Пусть имеется эксперимент, пространство элементарных исходов , случайное событие A. Повторим n раз этот эксперимент.

– количество появлений события A при n испытаниях (частота появления A).

f A n A n – относительная частота появления A.

n

Эксперимент: бросание монеты.

орёл, решка

появление

A орла

f A n

1

f A n 1/ 2

Эксперимент: бросание кости.

1, 2, 3, 4, 5, 6

появление

B шестёрки

fB n

1

fB n 1/ 6

Определение 13.

Неформальное.

Статистически, вероятность – объективная характеристика случайного события, дающая представление о том, как часто появляется событие при многократном проведении опыта.

P A lim A n

n n

Аксиомы вероятности (свойства предела P A lim A n ):

1. P A 0 , так как A n 0, n .

n n

2. Вероятность достоверного события P 1.

3. Если A и B несовместны, т. е. A B

Ø, то P A B P A P B .

P A B lim

A B n

 

lim

 

A n B n

 

lim

 

A n

 

lim

 

B n

 

P A P B

n

 

n

 

n

 

n

n

n

 

n

 

n

 

 

Определение 14.

Аксиоматическое.

Числовая функция P(A), вверенная на , обладающая свойствами 1, 2, 3 и 3а

называется вероятностной.

3а. Расширенная аксиома сложения:

Если

Ai Aj

Ø,

i j , то вероятность счётного объединения

 

 

 

 

P A .

 

P

A

 

 

i

 

 

i

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

Замечание.

Механическим аналогом вероятности является вес.

30. Вероятностное пространство.

Вероятностное пространство – тройка , S, P , где S – система случайных

событий (область определения P).

Требования к системе событий S:

1. S

A B S 2. A S, B S A B S

A S, B S

2а. Расширенная.

Для счётного числа событий A1, A2 , ..., An , ... , если

Ai S Ai S, Ai S .

i 1

i 1

 

 

 

40. Следствия определения вероятности.

 

1. P (Ø) 0

 

 

 

 

(2)

3

2

 

 

1 P

P( Ø ) P P( Ø) 1

P( Ø ) P (Ø) 0

2.P A 1 P A

3.P A 1

4.A B P A P B

5.Формула сложения вероятностей: P A B P A P B P A B .

Следствие.

Вероятность суммы меньше или равна сумме вероятностей.

P A B P A P B

5а. Обобщение.

n

 

 

n

P A

 

P A A

 

 

P A A

A

... 1 n 1 P A A ... A

P

A

 

 

 

i

 

i

i j

 

i j

k

1 2

n

i1

 

 

i1

 

i j

 

 

i j k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i j

 

 

i j k

 

 

 

50. Классическая схема определения вероятности.

Предположения:

1.Количество элементов в конечно, т. е. n .

2.Все исходы равноправны (равно возможны, равновероятны).

Тогда P

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

1

 

1 P P

 

 

 

 

 

P n p p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

n

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

i1

 

 

 

A

 

k P A k

1

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Когда все исходы равновероятны, вероятность каждого из них равна отношению событий, благоприятных к наступлению, к общему числу исходов.

Обобщение.

Рассмотрим полную группу равноправных (равно возможных,

равновероятных) событий A , A , ...,

A

, т. е. P A

1

, тогда

 

1 2

m

 

i

m

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

B Ai S P B

 

 

 

m

 

 

S 1

 

 

 

 

r – количество событий из полной группы, благоприятствующей событию B. m – общее количество событий.

Пример.

В ящике всего N шаров, из них K штук белые. Эксперимент: случайно вынимаются все шары из ящика. Какова вероятность на втором месте вытащить белый шар?

I способ.

 

 

 

N!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на втором месте

 

A

белый шар

 

 

 

 

 

 

 

A

 

K N 1 !

 

 

 

 

 

 

P A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

K N 1 !

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N!

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II способ.

Рассмотрим следующую систему событий:

 

 

 

на втором

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

месте шар № 1

 

 

 

 

на втором

 

A

 

 

 

 

2

 

 

 

 

месте шар №

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на втором

 

 

AN

 

 

 

месте шар № N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это группа является полной, т. к. события равноправны.

K

A Ai S

S 1

P A KN

60. Геометрические вероятности.

Рассмотрим пространство Rn .

Эксперимент бросание случайной в область D Rn точки. Все точки области D равноправны, т. е. вероятность попасть в подобласть g D зависит только

от её размера.

P попасть в g f mes g

Следовательно, вероятность попадания в равна отношению размеров подобласти g D ко всей области D .

mes g P попасть в g

mes D

D

g

Поделим область g на две подобласти,т.е. g g1 g2 , g1 g2 Ø,тогда

P попасть в g P попасть в g1 g2 f mes g1 g2 f mes g1 mes g2

1

Попадание в g

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

несовместные события [по аксиоме 3]

 

Попадание в g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

P попасть в g P попасть в g1 g2 P попасть в g1 P попасть в g2

 

f mes g1 f mes g2

2

 

 

 

1 2 f mes g1

mes g2

f mes g1

f

mes g2 f x Cx линейная функция.

P попасть в g f

mes g C mes g

3

 

1 P папасть в D

C mes D C

 

1

4

 

 

 

mes D

 

3 , 4 P попасть в g mesmes Dg

Пример.

Два товарища A и B договорились встретиться в одном месте. Каждый приходит в любой момент между 12 и 13 часами и ждёт 20 минут. Какова вероятность того, что встреча произойдёт?

x – момент прихода A, x 0,1 ;

 

 

 

 

 

 

y – момент прихода B, y 0,1 ;

 

 

 

 

 

 

x, y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

C встреча

 

x, y x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

1/3

 

 

 

 

S C

1

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

P C S

 

1

9

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1/3

2/3

1

x

Лекция № 2.

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

10. Определение условной вероятности.

Пример.

10 пронумерованных шаров в ящике. Случайно извлекается один шар.

1,2,...,10

 

 

 

нечётный

 

 

A'

шар

A 1,3,5,7,9

 

 

 

 

номер

целое,

A 3,6,9

B'

кратное 3

 

 

 

 

Эксперимент проведён, но его результат не известен. Но известно, что событие B имеет место. Каковы шансы, что и событие A имеет место?

Ответ: 23

P A / B

 

 

AB

 

/

 

 

 

 

 

P AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

/

 

 

 

 

 

P B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 1.

 

 

Отношение

P AB

называется условной вероятностью события A при

 

 

 

P B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условии осуществления события B и обозначается P A / B , при условии

P B 0 .

Будем рассматривать различные события A. Тогда каждому A поставим в соответствие числовую функцию P A/ B PB A , вверенную на подмножествах

из .

Аксиомы:

1.PB A 0

2.PB 1

P P B 1

B P B

3. A1 A2 Ø PB A1 A2 PB A1 PB A2

 

 

 

 

 

 

 

PB A1 A2

P A1 A2

B

 

P A1 B A2

B

 

P A1 B P A2

B

 

 

P B

 

 

P B

 

 

P B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P A1

B

 

P A2 B

PB

A1

PB A2

 

 

 

 

 

 

 

P B

 

 

P B