Экзаменационная программа

Список вопросов по курсу

«Математическая статистика».

1. Основные определения математической статистики: выборка, объем выборки, реализация выборки, выборочное пространство, вариационный ряд, порядковые статистики, эмпирическая функция распределения и её свойства (теоремы о сходимости).

2. Задача точечного оценивания неизвестных величин: параметров, вероятностей и моментов. Понятие статистики и оценки, свойства оценок: несмещенность и состоятельность. Сравнение оценок на основе дисперсий, понятие об оптимальной оценке, утверждение о единственности оптимальной несмещенной оценки (без доказательства). Обобщение критерия сравнения оценок на основе дисперсий с использованием среднеквадратичного отклонения, функции потерь и функции условного риска.

3. Понятие состоятельной оценки и предельные теоремы, используемые для доказательства состоятельности оценок (теорема Бернулли, теорема Хинчина, неравенство Чебышева и закон больших чисел в форме Чебышева). Утверждение о состоятельности несмещенной оценки с убывающей дисперсией.

4. Задача точечного оценивания вероятности события, построение оценки и свойства оценки. Задача точечного оценивания значений функции распределения, построение оценки и свойства оценки.

5. Задача точечного оценивания математического ожидания и дисперсии. Понятие о выборочном среднем, выборочной дисперсии и исправленной выборочной. Несмещенность и состоятельность выборочного среднего, выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии (без вывода формулы дисперсии выборочной дисперсии).

6. Точечное оценивание старших моментов: выборочные моменты и их свойства несмещенности и состоятельности.

7. Постановка задачи точечной линейной оценки среднего при разноточных измерениях. Метод построения линейной оценки с минимальной дисперсией и свойства коэффициентов.

8. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Условия регулярности и свойства функции правдоподобия и функции вклада в условиях регулярности. Теорема о неравенстве Рао-Крамера.

9. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Условия регулярности, формулировка теоремы о неравенстве Рао-Крамера (без доказательства) и следствие из теоремы о неравенстве Рао-Крамера.

10. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Условия регулярности и формулировка теоремы о неравенстве Рао-Крамера (без доказательства). Обобщение неравенства Рао-Крамера для векторных оценок. Неравенства для отдельных компонент вектора оценки.

11. Функция правдоподобия, функция вклада и информация Фишера. Свойства информации Фишера в условиях регулярности (вычисление с помощью второй производной, аддитивность в условиях независимости, информация Фишера для выборки). Замечание о характере убывании дисперсии несмещенной оценки построенной по выборке.

12. Понятие эффективной оценки. Утверждение о функции правдоподобия и эффективной оценке. Линейное преобразование эффективной оценки.

13. Понятие достаточной статистики и теорема о критерии факторизации. Два следствия из теоремы о критерии факторизации.

14. Теорема об улучшении несмещенных оценок с помощью достаточных статистик (теорема Блекуэлла). Утверждение об оптимальной несмещенной оценке и достаточной статистики.

15. Метод моментов построения точечных оценок, свойства моментных оценок.

16. Метод максимального правдоподобия построения точечных оценок. Утверждения о связи между МП-оценками, эффективными оценками и достаточными статистиками. Асимптотическая нормальность и асимптотическая эффективность, теорема об асимптотических свойствах МП-оценок (без доказательства).

17. Понятие порядковой статистики, функция распределения (с выводом) и функция плотности вероятности (без вывода) порядковой статистики. Понятие квантили и выборочной квантили, теорема Крамера об асимптотической нормальности выборочных квантилей. Метод построения оценок с помощью выборочных квантилей и свойства получаемых оценок.

18. Понятие доверительного интервала, верхней и нижней доверительных границ. Понятие центральной статистики и общий метод построения доверительных интервалов с помощью центральной статистики. Метод построения центральной статистики.

19. Построение наикратчайшего доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией.

20. Распределение хи-квадрат и построение доверительных интервалов для дисперсии и среднеквадратичного отклонения нормального распределения с известным математическим ожиданием.

21. Теорема Фишера о выборочном среднем и исправленной выборочной дисперсии. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.

22. Построение доверительных интервалов с использованием асимптотической нормальности. Построение доверительного интервала для вероятности события.

23. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции двумерного нормального распределения с неизвестными математическими ожиданиями и дисперсиями.

24. Основные определения в задаче проверки гипотезы: статистическая гипотеза, статистический критерий, основная гипотеза, простая и сложная гипотеза, статистика критерия, критическая область, уровень значимости. Метод проверки гипотезы о вероятности выпадения герба в серии испытаний с монетой.

25. Основные определения в задаче проверки гипотезы: альтернативное распределение и альтернативная гипотеза, функция мощности и сравнение критериев. Несмещенные и состоятельные критерии. Метод проверки гипотезы о вероятности выпадения герба в серии испытаний с монетой.

26. Постановка задачи проверки простой гипотезы о вероятностях и критерий хи-квадрат. Утверждение о неограниченности по вероятности статистики критерия хи-квадрат при условии, что основная гипотеза не верна.

27. Постановка задачи проверки простой гипотезы о вероятностях и критерий хи-квадрат. Теорема Пирсона об асимптотическом распределение статистики критерия хи-квадрат при условии, что основная гипотеза верна (без доказательства). Состоятельность критерия хи-квадрат. Нецентральное распределение хи-квадрат и асимптотическое распределение статистики критерия хи-квадрат при условии, что основная гипотеза не верна. Условие применимости на практике.

28. Постановка задачи проверки простой гипотезы о вероятностях. Применение критерия хи-квадрат к задаче проверке гипотезы о распределении полностью известном.

29. Постановка задачи проверки сложной гипотезы о вероятностях и критерий хи-квадрат. Теоремы Фишера об асимптотическом распределении статистики критерия хи-квадрат. Применение критерия хи-квадрат к задаче проверки гипотезы о распределении с неизвестным параметром.

30. Постановка задачи проверки гипотезы о независимости признаков и применение критерия хи-квадрат.

31. Постановка задачи проверки гипотезы об однородности и критерий проверки: статистика критерия и критическая область (задача никак не связана с критерием хи-квадрат).

32. Постановка задачи проверки гипотезы о распределении полностью известном и критерий согласия Колмогорова (без доказательства утверждения о неограниченности по вероятности статистики критерия).

33. Постановка задачи проверки гипотезы об однородности и критерий Колмогорова-Смирнова.

34. Постановка задачи проверки гипотезы о равенстве дисперсий нормальных распределений и критерий Фишера.

35. Постановка задачи проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий нормальных распределений с одинаковой дисперсией и критерий Стьюдента.

36. Постановка задачи однофакторного дисперсионного анализа и критерий проверки (с выводом).

37. Задача проверки параметрических гипотез, статистический критерий и вероятности ошибок первого и второго рода. Понятие о равномерно наиболее мощном критерии.

38. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и второго рода, понятие минимаксного критерия. Понятие критерия отношения вероятностей и часть теоремы о построении минимаксного критерия как критерия отношения вероятностей.

39. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и второго рода, понятие байесовского критерия. Понятие критерия отношения вероятностей и часть теоремы о построении байесовского критерия как критерия отношения вероятностей.

40. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и второго рода. Понятие критерия отношения вероятностей, утверждение о свойстве критерия отношения вероятностей по отношению к другим критериям, утверждение о свойствах функций вероятностей ошибок первого и второго родов.

41. Постановка задачи различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и второго рода. Понятие критерия отношения вероятностей и часть теоремы о построении наиболее мощного критерия как критерия отношения вероятностей.

42. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательных критериях, вероятности ошибок первого и второго родов и случайная величина количества шагов до остановки.

43. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательном критерии отношения вероятностей. Утверждение о неравенствах для границ последовательного критерия отношения вероятностей.

44. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательном критерии отношения вероятностей. «Приближенный» критерий отношения вероятностей для заданных вероятностей ошибок, неравенства для вероятностей ошибок «приближенного» критерия отношения вероятностей.

45. Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательном критерии отношения вероятностей. Утверждение об остановке последовательного критерия отношения вероятностей и следствие из него. Тождество Вальда и приближенный метод расчета среднего количества шагов до остановки «приближенного» последовательного критерия отношения вероятностей.

46. Теоретическая и практическая задачи регрессионного анализа. Постановка задачи линейной регрессии, оценка по методу наименьших квадратов и утверждение о решении нормального уравнения (без доказательства).

47. Постановка задачи линейной регрессии с дополнительным предположением об остатках и теорема о свойствах оценки по методу наименьших квадратов.

48. Постановка задачи линейной регрессии с дополнительным предположением об остатках и оценка остаточной дисперсии. Понятия коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации.

49. Постановка задачи нормальной линейной регрессии, связь между оценкой по методу наименьших квадратов и оценкой максимального правдоподобия. Теорема о распределениях оценки по методу наименьших квадратов, величины среднеквадратичного отклонения и величины разности среднеквадратичных отклонений (без доказательства).

50. Постановка задачи нормальной линейной регрессии, теорема о распределениях оценки по методу наименьших квадратов, величины среднеквадратичного отклонения и величины разности среднеквадратичных отклонений (без доказательства). Построение доверительных интервалов для компонент оценки по методу наименьших квадратов и остаточной дисперсии, построение доверительной области для оценки по методу наименьших квадратов и проверка гипотезы об отсутствии зависимости.

51. Методы получения случайных величин: с равномерным распределением, бинарной, с распределением Бернулли, с нормальным распределением. Метод получения векторных случайных величин с нормальным распределением. Метод получения случайной величины с заданной функцией распределения.

52. Применение метода Монте-Карло в задаче приближенного вычисления числа и в задаче приближенного вычисления характеристик сложной случайной величины. Точность методов Монте-Карло.

53. Применение метода Монте-Карло в задачах приближенного вычисления определенного интеграла (два способа) и несобственного интеграла. Сравнение метода Монте-Карло с квадратурными методами. Точность методов Монте-Карло.

4