- •1. Точечное оценивание: основные понятия(выборка, статистика, характеристики качества оценок: несмещенность, состоятельность, оптимальность)
- •2. Оценивание вероятностей и моментов. Функция эмпирического распределения. Основная теорема статистики.
- •3. Линейная мд-оценка среднего при разноточечных измерениях.
- •15.Свойства критерия хи-квадрат(состоятельность, мощность критерия, нецентральное распределение хи-квадрат). Применение Критерия для проверки гипотезы о распределении.
- •16.Критерий хи-квадрат в случае неизвестных параметров. Проверка гипотезы о независимости признаков.
- •17. Проверка гипотезы об однородности выборок
- •18. Критерий согласия Колмогорова
- •19. Различие двух простых гипотез. Байесовский подход. Теорема об оптимальном правиле
- •20. Различие двух простых гипотез. Подход Неймана-Пирсона. Теорема об оптимальном Правиле.
1. Точечное оценивание: основные понятия(выборка, статистика, характеристики качества оценок: несмещенность, состоятельность, оптимальность)
Статистикой называется любая функция наблюдений, понимаемая как случайная величина
Примеры распространённых статистик:
и т.д.
Выборкой х1, ..., хn объема n из совокупности, распределенной по F(х), называется n независимых наблюдений над случайной величиной с функцией распределения F(x).
Пусть x1, ..., xn — выборка , т.е. n независимых испытаний случайной величины X , имеющeй функцию распределения F(x / a), зависящую от параметра a, значение которого неизвестно. требуется оценить значение параметра a.
Оценкой â = (x1, ..., xn) называется функция наблюдений, используемая для приближенного определения неизвестного параметра. Значение â оценки является случайной величиной, поскольку (x1, ..., xn) — случайная величина (многомерная).
Свойства оценок
1. Оценка â= (x1, ..., xn) называется состоятельной, если при n â a по вероятности при любом значении a.
2. Оценка â = (x1, ..., xn) называется несмещенной, если при любом a Mâ = M(x1, ..., xn) = a.
состоятельность - обязательное свойство используемых оценок. свойство несмещенности является желательным; многие применяемые оценки свойством несмещенности не обладают.
3. Оценка * называется оптимальной, если для неё средний квадрат ошибки
M(â- a)2= M[*(x1, ..., xn) - a]2= min M[(x1, ..., xn) - a]2
минимален среди всех оценок {}; здесь критерием качества оценки принят квадарт ошибки (â - a)2. В более общей ситуации, если критерием качества служит некоторая величина L(â, a), называемая функцией потерь (или функцией штрафа), то оптимальная оценка та, для которой минимальна величина ML(â, a); последняя есть функциея неизвестного a и называется функцией условного риска. Ясно, что оптимальной оценки может не существовать (так как характеристикой является функция, а не число).
2. Оценивание вероятностей и моментов. Функция эмпирического распределения. Основная теорема статистики.
Вариационным рядом х(1) х(2) ... х(n) называется выборка, записанная в порядке возрастания ее элементов.
Каждому наблюдению из выборки присвоим вероятность, равную 1/n; получим распределение, которое называют эмпирическим; ему соответствует функция эмпирического распределения
= ,
где n(х) - число членов выборки, меньших х. Значение этой функции для статистики определяется тем, что при n
F(x)
Числовые характеристики эмпирического распределения называются выборочными характеристиками: выборочные среднее (математическое ожидание), дисперсия:
=, s2=
выборочный момент порядка к:
mk = ;
выборочные квантили p порядка р - корни уравнения
F(p)=p,
которыми являются члены вариационного ряда
(p)=([np]+1),
где [nр] означает целую часть nр; частным случаем (p = 0.5) является выборочная медиана - центральный член вариационного ряда. Значение выборочных характеристик состоит в том, что при n они стремятся к истинным значениям распределения F(х).
Основная теорема статистики
Пусть x1, x2,...,xn - выборка из n независимых наблюдений над случайной величиной X с функцией распределения F(x). Расположим наблюдения в порядке возрастания; получим
-вариационный ряд. Определим функцию эмпирического распределения
,
где - число тех наблюдений, для которыхxi<x. Ясно, что - ступенчатая функция; это функция распределения, которое получается, если значениямx1,...,xn присвоить вероятности, равные 1/n. Ясно, что -функция случайная , так.как зависит от наблюденийx1,...,xn.
Теорема Гливенко:
при
с вероятностью 1.