Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ответы к экзамену.docx
Скачиваний:
90
Добавлен:
28.06.2014
Размер:
17.93 Mб
Скачать

1. Точечное оценивание: основные понятия(выборка, статистика, характеристики качества оценок: несмещенность, состоятельность, оптимальность)

Статистикой называется любая функция наблюдений, понимаемая как случайная величина

Примеры распространённых статистик:

и т.д.

Выборкой х1, ..., хn объема n из совокупности, распределенной по F(х), называется n независимых наблюдений над случайной величиной с функцией распределения F(x).

Пусть x1, ..., xn — выборка , т.е. n независимых испытаний случайной величины X , имеющeй функцию распределения F(x / a), зависящую от параметра a, значение которого неизвестно. требуется оценить значение параметра a.

Оценкой â = (x1, ..., xn) называется функция наблюдений, используемая для приближенного определения неизвестного параметра. Значение â оценки является случайной величиной, поскольку (x1, ..., xn) — случайная величина (многомерная).

Свойства оценок

1. Оценка â= (x1, ..., xn) называется состоятельной, если при n   âa по вероятности при любом значении a.

2. Оценка â = (x1, ..., xn) называется несмещенной, если при любом a Mâ = M(x1, ..., xn) = a.

состоятельность - обязательное свойство используемых оценок. свойство несмещенности является желательным; многие применяемые оценки свойством несмещенности не обладают.

3. Оценка * называется оптимальной, если для неё средний квадрат ошибки

M(â- a)2= M[*(x1, ..., xn) - a]2= min M[(x1, ..., xn) - a]2

минимален среди всех оценок {}; здесь критерием качества оценки принят квадарт ошибки (â - a)2. В более общей ситуации, если критерием качества служит некоторая величина L(â, a), называемая функцией потерь (или функцией штрафа), то оптимальная оценка та, для которой минимальна величина ML(â, a); последняя есть функциея неизвестного a и называется функцией условного риска. Ясно, что оптимальной оценки может не существовать (так как характеристикой является функция, а не число).

2. Оценивание вероятностей и моментов. Функция эмпирического распределения. Основная теорема статистики.

Вариационным рядом х(1) х(2) ... х(n) называется выборка, записанная в порядке возрастания ее элементов.

Каждому наблюдению из выборки присвоим вероятность, равную 1/n; получим распределение, которое называют эмпирическим; ему соответствует функция эмпирического распределения

= ,

где n(х) - число членов выборки, меньших х. Значение этой функции для статистики определяется тем, что при n  

F(x)

Числовые характеристики эмпирического распределения называются выборочными характеристиками: выборочные среднее (математическое ожидание), дисперсия:

=, s2=

выборочный момент порядка к:

mk = ;

выборочные квантилиp порядка р - корни уравнения

F(p)=p,

которыми являются члены вариационного ряда

(p)=([np]+1),

где [nр] означает целую часть ; частным случаем (p = 0.5) является выборочная медиана - центральный член вариационного ряда. Значение выборочных характеристик состоит в том, что при n   они стремятся к истинным значениям распределения F(х).

Основная теорема статистики

Пусть x1, x2,...,xn - выборка из n независимых наблюдений над случайной величиной X с функцией распределения F(x). Расположим наблюдения в порядке возрастания; получим

-вариационный ряд. Определим функцию эмпирического распределения

,

где - число тех наблюдений, для которыхxi<x. Ясно, что - ступенчатая функция; это функция распределения, которое получается, если значениямx1,...,xn присвоить вероятности, равные 1/n. Ясно, что -функция случайная , так.как зависит от наблюденийx1,...,xn.

Теорема Гливенко:

при

с вероятностью 1.