3. Линейная мд-оценка среднего при разноточечных измерениях.

Неизвестная величина m=?

Измеряем несколькими приборами или методами с различной точностью.

Таких наблюдений n-штук

Имеем результаты: неизвес с.в.

Треб.

Несмещен.

Из прошлого семестра:

Составляем

7. Метод моментов, свойства моментных оценок, примеры

8. Метод максимального правдоподобия, свойства МП-оценок

9. Оценивание порядковыми статистиками. Асимптотические свойства выборочных квантилей. Распределение порядковых статистик

10. Интервальное оценивание(определение, интервал для среднего нормальной совокупности, способ построения интервала). 

11. Распределение хи-квадрат; теорема о совместном распределении выборочных среднего и дисперсии нормальной совокупности. Доверительный интервал для дисперсии нормальной совокупности. 

12. Распределение Стьюдента. Построение доверительного интервала для среднего нормальной совокупности при неизвестной дисперсии. 

13. Доверительные интервалы, основанные на асимптотической нормальности оценок, интервал для вероятности. 

14.Критерий хи-квадрат. Проверка гипотезы о вероятностях. Теорема Пирсона. 

Обозначим:

A₁, ..., A_m-mвозможных исходов некоторого опыта;p₁, ..., p_m - вероятности cooтветствующих исходов,;

n- число независимых повторений опыта;

₁, ..., _m- число появлений соответствующих исходов вnопытах,;

p, ..., p- гипотетические значения вероятностей,p 0,.

Требуется проверить гипотезу Нт.е.

Н: p_i= p, i=1, ...,m.

Оценками для p₁, ..., p_mявляются=₁ /n,...,=_m/n. Мерой расхождения между гипотетическими и эмпирическими вероятностями принимается величина

,

которая с точностью до множителя nесть усредненное с весамиpзначение квадрата относительного отклонения значенийот p.СтатистикаX²называется статистикой хи-квадрат Пирсона. Для ее вычисления используются две формулы:

. (1)

Поскольку по закону больших чисел p_i приn, то

.

Последняя величина равна 0, если верна Н; если жеНне верна, тоX² .

Процедура проверки гипотезы состоит в том, что если величина X² приняла “слишком большое” значение, т.е. если

X²  h, (2)

то гипотеза Нотклоняется; если это не так, будем говорить, что наблюдения не противоречат гипотезе. На вопрос, что означает “слишком большое” значение, отвечает

Теорема К. Пирсона. Если гипотезаНверна иp_i⁰ > 0,i=1,...,m, то приn  распределение статистикиХ² асимптотически подчиняется распределению хи-квадрат сm- 1 степенями свободы, т.е.

Р{ X² < x / H }  F_m-1(x)  P{ ²_m-1< x }.

Порог hвыберем из условия: вероятность ошибки первого рода должна быть малой - равной выбираемому значению- уровню значимости:

P{ отклонитьH/ H верна} =P{X ² h / H}P{²_m-1  h} =,

откуда

h = Q(1-, m -1) (3)

- квантиль уровня 1-распределения хи-квадрат сm -1 степенями свободы.

Процедура (2) - (3) проверки Нможет быть записана иначе: гипотезаН отклоняется, если

P{²_m-1  X²}  , (4)