ЛЕКЦИЯ 2
Геометрическое определение вероятностей
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
Пусть в некоторую область случайным образом |
|
|
||||
Ω |
. T |
|||||
бросается точка T, причем все точки области Ω |
||||||
равноправны в отношении попадания точки T. Тогда |
|
|||||
за вероятность попадания точки T в область A |
|
A |
||||
принимается отношение |
|
|
||||
p (A )= |
S ( A ) |
|
|
|
||
|
, |
(2.1) |
|
|
||
S ( Ω ) |
|
|
||||
|
|
|
||||
где S(A) и S(Ω) – геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и Ω соответственно.
Теоремы сложения вероятностей
Теорема сложения двух случайных событий. Вероятность суммы случайных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их совместного появления: |
|
|
|
|
|
|
|
p(A + В) = p(А) + p(В) – p(АВ). |
|
|
|
(2.2) |
|||
Доказательство. Представим событие А + В в |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
B |
||
виде суммы трех несовместимых событий |
A |
|
|
||||
А + В = А В + АВ + А В. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Тогда на основании второй аксиомы |
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
AB AB |
|||||
p(А + В) = p(А В) + p(АВ) + p( АВ). |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Представим события А и В в виде суммы несовместимых событий:
A= A B + AB, p(A) = p(A B) + p(AB) p(A B) = p(A) – p(AB),
B= B A + AB, p(B) = p(B A) + p(A B) p(B A) = p(B) – p(AB),
Подставим p(A B) и p(B A) в выражение p(А + В) и после преобразований получим: p(А + В) = p(А) + p(В) – p(АВ).
Теорема сложения для n случайных событий. Вероятность суммы n
событий A1, ..., An равна
n |
n |
|
|
p(∑ Ai ) = ∑ p( Ai1 ) − ∑ p( Ai1 Ai1 ) + ... |
|
||
i=1 |
i1 =1 |
i1 ,i2 |
(2.3) |
: ... + (−1)k +1 |
∑ p( Ai1 Ai2 ...Aik |
) + ... + (−1)n +1 p( A1 A2 ...An ), |
|
i1 ,i2 ,...,ik