5. Задача лп с ограничениями-неравенствами. Переход от нее к основной задаче.

Пусть имеется задача ЛП с параметрами

Ограничения имеют вид неравенств

Методом перестановки приводим к

Тогда ограничения могут принять такой вид:

Обозначим эту систему уравнений как (*)

Требуется найти такие неотрицательные значения , которые удовлетворяют системе неравенств и обращают в минимум линейную функцию L.

Используется следующий прием:

Вводятся следующие переменные

Обозначим эту систему уравнений как (**)

– добавочные переменные. Они также, как и исходные, должны быть неотрицательными .

Тогда возникает новая ЗЛП в следующей постановке:

Найти такие неотрицательные значения переменных , чтобы они удовлетворяли системе линейных неравенств (**) и, кроме того, обращали бы функцию .

В такой подстановке – рассматриваются как свободные переменные. А переменные – рассматриваются как базисные.

Перешли к классической подстановке.

Отличие:

Функция L сразу выражена через свободные переменные.

Если их только 2, то используют геометрический метод.

Если их больше 2-х, то используют вычислительные методы.

Пример

Заданы 3 уравнения:

Требуется:

1. Записать эту задачу как задачу ограничения неравенств

2. Решить основную задачу

Решение:

n=5 (кол-во переменных)

m=3 (кол-во уравнений)

n-m=2=k

Пусть и свободные переменные

Осуществили обратный переход

и свободные

Штриховка так, чтобы

Получили открытую ОДР, следовательно, решение на [AB]

(если бы по условию , то решения не было бы)

Решение в опорной точке (.)А:

6. Симплекс-метод решения задачи лп

Алгоритм выполнения симплекс-метода решения задачи ЛП:

• Запишем исходные данные в виде системы уравнения, где ,,, –свободные переменные

стремится к минимуму

• Введем базовые переменные

n = 7 (указано в дано к задаче), m = 3 (кол-во уравнений), k = n – m = 4 (базовых переменных)

Базисными обозначим:

Приравняем все свободные переменные (т.е. все оставшиеся) к нулю.

Мы получили первую опорную точку , однако же обратим внимание на то, что при стоит минус. Это значит, что, сделав переменную положительной, мы получим меньшее значение . В таких случаях говорят, что функция убывает быстрее при положительных значениях . Базисные переменные априори ≥ 0, следовательно сделаем базисной.

Очень просто: у тебя стоит -, значит если , например, 4 → , что меньше, чем, например, если бы стал →

Если бы мы получили такую функцию L, где все значения были бы с , то такое значение называлось бы оптимальным (то, к чему мы стремимся по ходу решения).

• Процедура замены свободной переменной на базисную

В контексте нашей задачи в первом и во втором неравенстве есть отрицательный . Необходимо выбрать какую базисную переменную будем заменять или . Смотрим на коэф-ты при иксе, в первом случае функция убывает быстрее, т.к. меньше, чем , следовательно выбираем .

Выразили через и подставили получившееся выражение во второе неравенство вместо (в третьем нечего было заменять).

Очень доходчиво: первым делом мы поделили все в первом неравенстве на коэф-т, стоящий при (2) и перенесли в правую часть новые свободные переменные, а в левой остался как базисный.

Обратите внимание тоже меняется

Таким образом получаем промежуточную систему уравнений:

Пусть , тогда , хороший результат, но все же мы видим, что перед стоит минус, значит можно сделать L ещё меньше, необходима вторая замена по тому же алгоритму. Выбираем , т.к. других вариантов просто нет.

Сделаем последние преобразования

Пусть , тогда

Отметим, что в выражении L все знаки при коэф-тах положительны, больше преобразовывать ничего не нужно, мы получили минимальное значение

Ответ: