5.2.2. Примеры анализа стохастических систем

5.2.2.1. Реакция линейной системы стохастические внешние воздействия

Теорема . Пусть линейная система с матричной импульсной переходной функцией K(t, τ) находится в моментt₀в нулевом состоянии. Пусть входное воздействие на систему есть реализация стохастического случайного процессаu(t) со среднимm_u(t) и ковариационной матрицейR_u(t₁,t₂). Тогда выходные величины системы есть реализация стохастического процессаy(t) со средним:

(5.42)

и ковариационной матрицей:

(5.43)

при условии, что интеграл существует.

Так как выход описывается

(5.44)

то имеем

Теорема. Предположим, что линейная система с постоянными коэффициентами является асимптотически устойчивой и имеет матричную переходную функцию K(t-τ) и входной процессu(t) является стационарным в широком смысле с ковариационной матрицейRu(t₁-t₂). Тогда, если входное воздействие на систему является реализацией процессаu(t), который приложен с момента -∞, выходная переменная является реализацией стационарного в широком смысле стохастического процессаy(t) с ковариационной матрицей

. (5.46)

Теорема. Рассмотрим асимптотически устойчивую линейную систему с постоянными параметрами и матричной передаточной функцией H(p). Предположим, что входная переменная стационарного в широком смысле стохастического процессаu(t) с матричной спектральной плотностью, который приложен в момент времени -∞. Тогда выходная переменная является реализацией стационарного в широком смысле стохастического процессаy(t) с матричной спектральной плотностью

. (5.47)

Это преобразование Фурье предыдущего (5.46) выражения после замены t₁–t₂на τ и использования того, чтоH(p) есть преобразование Лапласа отK(τ).

5.2.2.2. Реакция линейных дифференциальных систем на белый шум

Белый шум.Скалярный стохастический процесс некоррелированный даже при малых (t₂ – t₁) называется процессом белого шума. Более строго он определяется следующим образом:

при , (5.48)

где ε – «малое» число. В идеальном случае

(5.49)

где

V(t)– интенсивность процесса приt.

Определение. Векторный стохастический процесс ω(t)cнулевым средним и ковариационной матрицей (5.49) является стохастическим процессом типа белого шума интенсивностиV(t). ЕслиV(t)=V– процесс является стационарным в широком смысле, то матрица спектральных плотностей имеет вид:

. (5.50)

Отсюда видно, что стационарный в широком смысле белый шум имеет равную на всех частотах плотность энергии. Отсюда название по аналогии с белым светом. Понятно, что интеграл (5.43) от константы (V> 0) в пределах от -∞ до +∞ дает бесконечную величину. Это указывает, что в природе нет белого шума. Но подобная идеализация бывает полезна при моделировании слабо коррелированных широкочастотных воздействий – шумов.