5.1.2.4. Взаимосвязь функций времени и их спектрального представления

Операция вычисления спектральной плотности для любой функции f(t), конечной приtосуществляется по формуле:

. (5.15)

Ограниченность функции f(t) необходима для того, чтобы интеграл (5.15) имел смысл.

Функция спектральной плотности может быть вычислена отдельно для действительной и мнимой частей по формулам:

(5.16)

при этом, как и раньше, .

Формулы (5.13) и (5.15) называются формулами преобразования Фурье. По ним возможно перейти от любой, конечной при t, функцииf(t) к её спектральной плотностиF() и обратно, восстановить функцию по спектральной плотности. Формулы (5.14) и (5.16) являются их аналогом, использующим тригонометрическое представление.

5.1.2.5. Матрица спектральных плотностей энергии

Определение.Матрица спектральной плотности энергии _v() векторного стохастического стационарного в широком смысле процесса, определяется как преобразование Фурье ковариационной матрицыR _v(t₁–t₂) процесса, т.е.

(5.17)

где =t₁–t₂.

Матрица спектральной плотности  _v() является комплексной матрицей, имеющей свойства:

а)  _v(-) = _v^(), (5.18)

б)  _v^() = _v(), (5.19)

в)  _v()0. (5.20)

 - обозначает комплексно-сопряженное транспонирование.

5.1.2.6. Пример определения функции спектральной плотности по ковариационной функции (Пример 5.1)

Рассмотрим скалярный процесс ν(t) с ковариационной функцией

R_ν(τ) = σ²exp(-|τ|/θ), (П.17.1)

где σ²– дисперсия процесса,θ– постоянная времени.

(П.17.1) описывает экспоненциально коррелированный шум, которым могут моделироваться многие, встречающиеся на практике процессы. Определение функции спектральной плотности осуществляется по формуле (5.17)

Интегрируется по частям, b=-1/θ.

, ,,,

, ,,

В результате, с учетом b=-1/θ, получается функция спектральных плотностей.

5.2. Задачи слежения (Лекция 17)

5.2.1. Характеристики качества следящих систем.

5.2.1.1. Описание разомкнутой следящей системы

Пусть объект описывается линейным уравнением с постоянными параметрами:

, . (5.21)

Отдельно может быть описана наблюдаемая переменная, которая выражается через состояние:

. (5.22)

Управляемая переменная в общем случае может не совпадать с наблюдаемой переменной и также выражаться через состояние:

. (5.23)

В уравнениях (5.21) – (5.23) v_p(t) – вектор возмущений, действующий на объект, v_m(t) – ошибки измерения.

Задача следящей системы состоит в обеспечении равенства значения управляемой переменной значению эталонной переменной. Эталонная переменная, значение которой требуется отслеживать, представляет собой стохастический процесс той же размерности, что и.

Регулятор является динамической системой, которая описывается подобно объекту:

, ; (5.24)

. (5.25)

–вектор состояний регулятора, – вектор входных переменных регулятора (эталонная переменная),– вектор возмущающих воздействий регулятора (наблюдаемая переменная объекта), – выход регулятора, который одновременно является входом объекта.

5.2.1.2. Описание замкнутой следящей системы.

Уравнения (5.21)-(5.23) описывают объект отдельно от регулятора (5.24)-(5.25). Чтобы получить описание замкнутой системы объект-регулятор необходимо исключить векторы u(t), y(t) из правых частей (5.21)-(5.25).

Так, подставив (5.22.) в (5.25), получаем:

.

Исключив u(t) из (5.21) и y(t) из (5.24), можно получить для объединенного вектора состояний системы, включающего состояния и объекта и регулятора, следующую систему уравнений:

. (5.26)

В векторно-матричной форме она приобретает вид:

, (5.27)

где (x^T(t), q^T(t)) – расширенный вектор состояний, r(t) – эталонное (задающее) входное воздействие, (v_m(t), v_p(t)) – вектор возмущающих воздействий.

Структурная схема замкнутой системы показана на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Замкнутая следящая система

В дальнейшем потребуются значения управляемой переменной и управления, которые выражаются из описания замкнутой системы в следующем виде:

, (5.28)

. (5.29)