37. Метод исключения (отбраковки) для моделирования последовательности чисел c заданной функцией распределения.

Метод исключений (отбраковки, режекции, Неймана)

1) Если множество случайных точек (x,y) – реализация случайного вектора , равномерно распределенного в области, ограниченной осью Y и кривой f(x), такой, что

,

то одномерная плотность распределения величины ξ равна

Отсюда следует, что, если f(x) – искомая функция плотности распределения (т.е. ), то, реализовав процедуру построения множества случайных векторов, равномерно распределенных под графиком f(x), мы, тем самым, получим множество значений абсцисс {x_i}, распределённых в соответствии с законом, определяем f(x).

Вместе с тем, процедура генерирования случайных векторов может оказаться достаточно сложной в вычислительном плане (надо использовать условные ф.п.в.). Для упрощения процедуры формирования случайных чисел воспользуемся следующим достаточно очевидным утверждением.

Если мн-во точек (x,y) равномерно распределено под графиком функции g(x) то та часть, что окажется в области под графиком f(x), такой что f(x) <= g(x), тоже будет расп. в области f(x).

Ф-я g(x) называется мажорирующей по отношению к f(х).

g(x)- мажорирующая функция

Можно выбрать функцию g(x) такой, что вектора, равномерно распределенные в области G, будет просто генирировать. Удобно выбирать функцию, имеющую постоянное значение на всей области определения f(x) (как правило, равное) или ступенчатую.

Отсюда вытекает процедура метода:

1) если функция g(x) не ограничена, то, учитывая допустимую погрешность, область ее определения ограничивают интервалом (a,b);

2. генерируется число РРСЧ из диапазона (0, 1) – η1 и преобразуем его в диапазоне (а,b)

η_1* = a+(b-a) η₁ .

2. генерируется число η2 и преобразовывается

η_2* = fmax η₂

2. производим проверку

η_2* < f(η_1*)

Если условие выполняется, то в выходную последовательность записывается число η_1*

х_i= η_1*

_{Если нет, то процедура повторится.}

.

38. Моделирование случайных векторов.

Формирование случайных векторов

с заданными вероятностными характеристиками

Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат. Эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения.

В простейшем случае вектор двумерный и может быть задан совместным законом распределения его проекций ξ и η на оси OX и OY.

Рассмотрим способы формирования случайных векторов для моделирования

дискретных и непрерывных случайных процессов

1. Дискретный случайный процесс.

Составляющая ξ принимает значения x₁, x₂, … , x_m, а составляющая η – значения y₁, y₂, … , y_n и каждой паре (x_i y_j) соответствует вероятность P_ij. Совместную функцию распределения вероятностей зададим в виде матрицы

P = .

Тогда каждому возможному значению x_i случайной величины ξ будут соответствовать

В соответствии с этим распределением вероятностей можно определить конкретное значение ξ и из всех значений P_ij можно выбрать последовательность

P_i1, P_i2, … , P_i3, Преобразуем её

.

Эта последовательность списывает условное распределение величины η при условии, что ξ = x_i.

Используя известные нам методы (например, универсальный), определяем конкретное значение y_i1 случайной величины η. Получена первая реализация (x_i1 y_i1)

Вектора. Процедуру повторяем циклически.

2. Непрерывный случайный процесс.

В этом случае двумерная случайная величина (ξ,η) описывается совместной функцией плотности распределения f_ξη (x,y). Напомним,

.

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно определить закон распределения одной из них

.

Имея этот закон, можно сформировать случайное число x_i, а затем при условии, что ξ = x_i определить условное распределение случайной величины η:

.

В соответствии с этой плотностью, можно определить случайное число y_i и получить реализацию вектора (x_i,y_i).

Аналогичным образом можно моделировать случайные вектора и большей размерности. Например, если вектор трехмерный и задан совместной функцией плотности f_ξηζ (x,y,z), то последовательность такова:

,

,