5. Дискретная марковская цепь. Геометрическое распределение.

Процесс представляет собой цепь Маркова, если вероятность очередного состояния зависит только от текущего состояния и не зависит от того, каким образом система попала в это состояние. (переход не зависит от предыстории процесса)

Обладает свойством отсутствия последействия, которое можно определить: вероятность перехода в определенное состояние не зависит от того, сколько времени процесс пребывал в текущем состоянии.

Единственным распределением, обладающее свойством отсутствия последействия является геометрическое распределение. Для непрерывного распределения им является показательное распределение. Основа любого распределения – случайная величина.

Пусть некоторое событие может произойти с вероятностью 1-р и не произойти с вероятностью р. Моменты появления события – поток событий. Интервал времени м\ду событиями T – величина случайная и подчиняется геометрическому закону распределения. Количество событий в данном случае тоже величина случайная.

. – вероятность того, что интервал м\ду событиями равен i тактам.

Средние значение времени обслуживания

=;

- математическое ожидание интервала обслуживания.

Как видно, выражение соответствует геометрическому распределению:

6. Модель "Память-алу". Кодирование состояний. Построение графа состояний

Из ПМК-д по синхросигналу считываются в АЛУ. Если АЛУ готово принять МК, она обрабатывается, иначе МК загружается в буфер запоминающего устройства (БЗУ). При полном заполнении ЗУ МК блокируется в памяти.

q – вероятность того, что по истечении такта времени заявка в АЛУ не обслужится

1-q – обслуживание завершится.

Будем кодировать состояния 3хпозиционным кодом

ПМК

БЗУ

АЛУ

j t1 t2

j – количество мест ожидания в очереди (1..n)

t1 – количество тактов до появления очередной заявки t1 = 2, 1, 0 (0- состояние блокировки)

t2 – состояние АЛУ (1 – канал занят, 0 – свободен), возможное количество тактов до освобождения АЛУ.

020 – очередь свободна, канал свободен, до появления макрокоманды 2 такта.

7. Модель "Память-АЛУ". Построение и решение системы уравнений. Анализ результатов.

ПМК тактовый сигнал

БЗУ

АЛУ

Исследуемая система состоит из 3х составляющих. Из памяти ПМК по тактовому считываются в АЛУ ПМК. Если АЛУ готово принять ПМК, она обрабатывается, иначе ПМК загружается в регистровое АЛУ. При полном заполнении БЗУ ПМК блокируется в памяти.

Построим математическую модель и попытаемся ее исследовать.

Модель стохастическая, так как число тактов обрабатываемых ПМК в АЛУ величина случайная.

Считаем, что ПМК считывается каждые 2 такта.

Для описания интервалов обслуживания используем регулярный просеянный поток. Просеянный поток иногда называют дискретным пуассоновским, так как его свойства аналогичны для моментов вероятности кратным периоду Т.

q - вероятность того, что в момент событие не произойдет, () - вероятность того, что произойдет.

Какова вероятность того, что обслуживание окончится через i тактов?

.

Средние значение времени обслуживания

=;

- математическое ожидание интервала обслуживания.

Это выражение соответствует геометрическому распределению: .

К просеянному регулярному потоку приводит, например регулярный поток данных , передаваемый по каналам связи с контролем наличия сбоев в передаваемом коде и исправлением путем повторной передачи.

Построим граф переходов в цепи Маркова. Определим состояние системы вектором, имеющим 3 компоненты: .

Временная составляющая t₁ – число тактов, оставшихся до появления заявки на выходе источника (t₁=0, 1, 2), 0 - если источник заблокирован,

t₂-время оставшееся до окончания обслуживания (возможное) заявки в АЛУ. t₂ может принимать два значения:

t₂=0-узел свободен;

t₂=1-узел занят.

Комбинаторная составляющая j-количество заявок в накопителе.

Построим граф и систему уравнений для стационарных (финальных) вероятностей состояний. P.

В состояние P₀₂₀ система больше не вернется, поэтому P₀₂₀=

Обозначим ,.

Тогда из 1 и 2 получим: ,.

Проведя индукцию по i, будем иметь

Из 6 и 7:

;

.

Уравнение 5 превращается в тождество. Используя уравнение нормировки .

получим:

.

Отсюда, учитывая, что сумма- это сумма геометрической прогрессии, получим

.

Используя полученное значение p (фактически, это вероятность простоя АЛУ) и рассчитав вероятности всех остальных состояний, можно найти другие интересующие нас характеристики системы.

Для просеянного потока математическое ожидание времени обслуживания каналом

, Т- период просеивания.

Определяем среднее время обслуживания заявки системы в целом (время пребывания) S.

Для одной заявки: SP_{обсл АЛУ} = m

Отсюда: S=

Средняя длина очереди