2. Математические модели. Непрерывно-детерминированные модели (d-схемы).

Исходной информацией для ММ служат данные о назначении и условиях работы моделируемой системы (S).

При построении ММ исследователь должен обеспечить с одной стороны адекватность отображения в модели реальных процессов, протекающих в исследуемой S, а с другой стороны – возможность реализации моделирования, достигаемую, как правило, за счет выделения основных свойств S и игнорирования несущественных (с точки зрения конкретной исследовательской задачи).

В общем случае при построении ММ, описание объекта должно учитывать следующие множества факторов:

• входное воздействие

• воздействие внешней среды

• внутренние параметры

• выходная характеристика

• Множества X, V, H – независимые (экзогенные);Y- зависимые (эндогенные). Функционирование системы во времени описывается оператором:

[1] гдеи т.д.

Для статистических моделей:

[2]

Соотношения [1] и [2] могут быть заданы разными способами (аналитически, таблично, графически и т.д.)

В ряде случаев они могут быть получены через свойства S в конкретные моменты времени, так называемые соотношения.

Тогда имеем:

[3]

или [4].

Если стохастика отсутствует (нет и), то имеем детерминированную модель

.

Это самые общие математические соотношения, а на практике на первоначальных этапах используют т.н. типовые математические схемы. Они более просты и наглядны.

Все модели можно свести к нескольким типам (типовые схемы моделирования).

D-схемы непрерывно-детерминированные

F-схемы дискретно-детерминированные (конечные автоматы)

P-схемы дискретно-стохастические (вероятностные автоматы). Наиболее неуниверсальные.

Q-схемы непрерывно-стохастические (системы массового обслуживания). Наиболее применимые.

A-схемы (агрегативные системы) - обобщенная модель.

D-схемы. В качестве ММ обычно используются дифференциальные уравнения или их системы.

n-мерный вектор

n-мерная функция.

Наиболее широко используются в исследовании САУ.

3. Математические модели. Дискретно-детерминированные модели (f-схемы).

F-схемы (finite automata) дискретно - детерминированные. Конечный автомат, является потоковым. Для задания автомата используются множества {x} {y} {z}, а так же функция переходов Z(t+1) = Ф (z(t),x(t)) и функция выходов y(t) = F (x(t),z(t)).

Автомат Милли Автомат Мура

4. Математические модели. Дискретно-стохастические модели (р-схемы).

Р схема – дискретно стахостическая модель. От англ. “вероятностный автомат”. Необходимо задать 3 множества, а так же 2 группы распределения вероятностей.

1я группа.

	z1	z2	…	zn
ХiZj	p1	p2	…	pn

2я группа.

	y1	y2	…	yk
ХiZj	q1	q2	…	qk

При выполнении условия

Здесь различают автомат Мили и Мура (выходной не зависит от входного сигнала).

Частными случаями являются Y – детерминированный (выработка сигнала предопределена) и Z (какой сигнал на выходе – процесс случайный) – детерминированные автоматы.

Рассмотрим пример

Пусть заданY – детерминированный P-автомат

Z	Z0	Z1	Z2	Z3
Y	0	1	1	0

0

0,5 0,4 0,6

0,5

0 1

0,5 0,5

0,25 0,75

1

Требуется оценить вероятность получения на выходе сигнала 1, т.е. суммарную финальную вероятность попадания (пребывания) автомата в состояниях и.

Под вероятностями состояний будем понимать конечные или финальные вероятности этих состояний. Иначе говоря это доля времени, котое пребывает автомат в том или ином состоянии если время работы автомата бесконечно. Финальные вероятности существуют и м.б. определены только в том случае, если из любого состояния можно попасть в любое другое за конечное число шагов. В примере z0 – безвозвратная вершина (уйдя из нее процесс никогда не вернётся)

Правило нахождения вероятностей!!! Вероятность любого состояния равна сумме произведений вероятностей состояний, из которых происходит переход в дано состояние, на вероятность этих переходов.

Используем уравнение нормировки:

С т.з. математического описания у-детерминированный автомат Мура представляет собой дискретную цепи Маркова.