31. Метод обратной функции для моделирования последовательности чисел с заданной функцией распределения.

1. Метод обратной функции.

Если случайная величина ξ имеет функцию распределения F(x), то распределение случайной величины y=F_ξ(ξ) равномерно в интервале от 0 до 1.

Пусть η – равномерно распределена от о до 1. Введём случайное число [1], где φ – монотонна. Тогда .

Функция распределения для ξ :

[2]

Из [1]:

Отсюда: т.к. η- равномерна от 0 до 1

[3]

Получим

Отсюда:

Вывод: функция φ, связывающая равномерно распределённую величину η с величиной ξ, имеющую функцию распределения F_ξ есть функция , т.е. обратная по отношению к F_ξ.

31. Универсальный метод моделирования последовательности чисел с заданной функцией распределения.

Разобъём [c,d] на n интервалов

Интервалы выбираются так, чтобы вероятность попадания в любой из них была постоянной:

1) Генерируется РРСЧ из диапазона (0,1) η₁ и выбирается номер диапазона k из условия:

k < n∙η₁ ≤ k+1, k=0…n-1.

2) Генерируется РРСЧ η₂ (от 0 до 1). Формируется случайная величина

= a_k + (a_k+1- a_k) η₂

31. Моделирование последовательности чисел с заданной функцией распределения по гистограмме.

f(x) задана в виде гистограммы

Р – частота

Построим шкалу:

где

Алгоритм:

1) Генерация (РРСЧ из диапазона от 0 до 1).

2) Определяем интервал , на который попала .

3) Генерируем (РРСЧ из диапазона от 0 до 1).

4) Формируем .

31. Нормальное распределение. Формирование случайных чисел с использованием предельных теорем.

Нормальный закон.

Сумма случайных чисел, имеющих один и тот же закон распределения, матожидание m, дисперсию D, среднеквадратичное отклонение σ, подчиняется нормальному закону распределения с матожиданием Nm, с D = ND, и σ = σ, где N – кол-во слагаемых в сумме.

Если в качестве базовой последовательности используют РРСЧ из интервала (0,1), то можно воспользоваться соотношением:

Если в=1, а=0, то

- РРСЧ

Для заданных m и σ.

31. Формирование случайных чисел с использованием теоремы Пуассона. Метод Кана.

Распределение Пуассона.

- вероятность того, что случайная величина примет

значение m (n=0,1)

a) Теорема Пуассона:

Если производится N независимых испытаний и вероятность события А в каждом опыте равна р, то частота появления m событий в N испытаниях при сходится по вероятности к Р_m. При этом Np=λ .

Алгоритм:

Выбираем достаточно большое N , чтобы .

Производятся серии по N испытаний, в каждом из которых проверяют условие:

( -РРСЧ из (0,1))

Подсчитывают количество y_i наступления такого события.

Значения y_i будут распределены по закону Пуассона.

На практике N берут таким, чтобы .

б) Метод Кана

Образуется произведение РРСЧ до выполнения условия:

числа x_j=N_j-1 будут распределены по закону Пуассона.