11. Загальний гамільтоніан кристала. Адіабатичне наближення.

12. Наближення самоузгодженого поля. Рівняння Хартрі та рівняння Хартрі-Фока.

Теорія самоузгодженого поля — підхід до вивчення поведінки великих та складних стохастичних систем у фізиці та теорії імовірностей через дослідження простіших моделей. Такі моделі розглядають численні малі компоненти, що взаємодіють між собою. Вплив інших індивідуальних компонент на заданий об'єкт апроксимується усередненим ефектом, завдяки чому задача багатьох тіл зводиться до одночастинкової задачі.

Ідея вперше склалася в фізиці в роботах П'єра Кюрі^[1] та П'єра Вейсса, що описували фазовий перехід^[2]. Аналогічні підходи знайшли застосування в моделях епідемій^[3], теорії черг^[4], в аналізі комп'ютерних мереж та теорії ігор^[5].

Задачу багатьох тіл з врахуванням взаємодії між ними розв'язати важко, хіба що для найпростіших випадків (теорія випадкових полів, одновимірна модель Ізінга). Тому систему N тіл заміняють одночастинковою задачею з добре підібраним зовнішнім потенціалом, який заміняє дію всіх інших частинок на вибрану. Велику складність має (наприклад, при обчисленні функції розподілу в статистичній механіці) врахування перестановок при обчисленні взаємодії в гамільтоніані при підсумовуванні по всіх станах. Мета теорії середнього поля обійти цю комбінаторику. В різних областях науки теорія середнього поля відома під своїми власними назвами, серед яких наближення Брегга-Вільямса, модель ґратки Бете, теорія Ландау, наближення П'єра Вейсса, терія розчинів Флорі-Гаггінза або теорія Схейтьєнса-Флера.

Основна ідея теорії середнього поля — замінити всі дії на вибране тіло усередненою або ефективною взаємодією, яку іноді називають молекулярним полем^[6]. Це зводить будь-яку задачу багатьох тіл до ефективної одночастинкової задачі. Легкість розв'язання задачі теорії середнього поля означає отримання певного поняття про поведінку системи з порівняно незначними витратами.

У класичній теорії поля функцію Гамільтона можна розкласти в ряд, використовуючи як параметр розкладу величину флуктуацій навколо середнього поля. Середнє поле можна тоді розглядати як нульовий порядок цього розкладу. Це означає, що теорія середнього поля не містить жодних флуктуацій, але це відповідає ідеї того, що взаємодії заміняються на середнє поле. Доволі часто при вивченні флуктуацій теорія середнього поля є стартовим майданчиком для дослідження флуктуацій першого чи другого порядку.

Загалом визначення того наскільки наближення середнього поля працюватиме для конкретної задачі сильно залежить від розмірності. У теорії середнього поля численні взаємодії заміняються одною ефективною дією. Тоді, природно, якщо поле чи частинка в початковій системі має багато партнерів взаємодії, то теорія середнього поля буде ефективнішою. Це справедливо для високих розмірностей, там де функція Гамільтона містить у собі сили з великим радіусом дії або коли частинки протяжні (наприклад, полімери). Критерій Гінзбурга є формальним виразом того, як флуктуації роблять наближення середнього поля поганим, часто залежно від просторової розмірності системи.

Тоді як теорія середнього поля склалася в статистичній механіці, вона знайша застосування в інших областях, таких як інтерференція, теорії графів, нейронауці та при вивченні штучного інтелекту.

----- далі якась фігня йде