18. Рівноважна концентрація електронів та положення рівня Фермі у власному напівпровіднику в об’ємному випадку.

Рівень Фермі — значення електрохімічного потенціалу при нульовій температурі. Неформально фізики часто називають рівнем Фермі електрохімічний потенціал при будь-якій температурі. Для металів значення рівня Фермі збігається зі значенням енергії Фермі, що визначається як енергія найвищого заповненого рівня електронів в основному стані.

Загальний опис[ред. | ред. Код]

Електрони в твердому тілі є ферміонами, тобто такими квазічастинками, що не можуть мати однакові значення квантових чисел в одноелектронному наближенні. Тому для побудови основного стану твердого тіла, для якого відомі одноелектронні стани, можна вдатися до наступної процедури. Спочатку виберемо рівень із найнижчою енергією й помістимо на нього два електрони із протилежними спінами, потім заповнимо наступний рівень із дещо більшою енергією, і чинитимемо так доти, доки не використаємо всі електрони твердого тіла. Найвищий заповнений рівень і буде рівнем Фермі для даної твердотільної системи.

У власне напівпровіднику рівень Фермі відповідає середній енергії електронів і дірок, якщо вони відповідно знаходяться поблизу дна зони провідності та верхнього рівня валентної зони, тобто рівень Фермі у власне напівпровіднику знаходиться посередині забороненої зони (рис. 1 а).

Якщо в напівпровідник вводяться домішки, положення рівня Фермі суттєво змінюється – створюються рівні домішок. У напівпровіднику з донорною домішкою і відповідним рівнем донорної домішки, який розташований на відстані ΔЕд від дна зони провідності, рівень Фермі знаходиться посередині між рівнем донорної домішки і дном зони провідності (рис. 1 б). Якщо у напівпровіднику присутня акцепторна домішка, то рівень Фермі знаходиться посередині між рівнем донорної акцепторної домішки та верхнім рівнем валентної зони (рис. 1 в).

Положення рівня Фермі в напівпровідниках з донорною або акцепторною домішкою визначатиметься наведеними вище рівняннями тільки за тієї умови, що концентрація електронів і дірок, обумовлена внесенням у напівпровідник відповідних домішок, у багато разів бі-льша концентрації цих носіїв струму, що властиві власне провіднику.

Зміна температури напівпровідника спричиняє зміщення рівня Фермі щодо його первісного положення. Фактор температури сильно впливає на електропровідність напівпровідника. У власне напівпрові-днику з підвищенням температури все більша кількість електронів буде збуджуватись, переборювати заборонену зону, і переходити у зону провідності. Одночасно в такій же кількості у валентній зоні створюватимуться дірки.

-------------

19 Густина станів у напівпровідникових квантових ямах та дротах.

Густиною станів — відношення кількості енергетичних станів dN у неперервному енергетичному спектрі, енергія яких лежить в діапазоні між E та E + dE, до dE.

Выявленные в предыдущем разделе особенности в поведении частиц, связанные с неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике, проявляются и в статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц. Это приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой механике отличаются от статистических распределений, известных из классической физики. Кроме того, статистические свойства бозе- и ферми-частиц в силу кардинального различия в поведении этих частиц также оказываются различными.

Найдем число квантовых состояний, по которым могут распределяться частицы, энергия которых не превышает некоторого значения . Определим это число для случая электрона, находящегося в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Согласно (4.27) энергия электрона в такой яме описывается выражением

(6.20)

где , и - стороны прямоугольного параллелепипеда, а квантовые числа , , = 1, 2, 3, ... . Из (6.20) следует, что энергия электрона меняется не непрерывным образом, а дискретно, поскольку квантовые числа , и могут принимать только целочисленные значения. Однако, нас будут интересовать значения энергии , существенно превышающие энергию основного состояния, для которого . В этом случае изменение энергии от уровня к уровню будет значительно меньше самого значения энергии , так что можно считать, что энергия электрона меняется практически непрерывно (квазинепрерывно).

Рассмотрим пространство квантовых чисел, т.е. трехмерное пространство, вдоль трех взаимно перпендикулярных осей которого отложены квантовые числа , , ( рис.6.1 ) . Точку этого

Рис. 6.1.

пространства , которая отвечает определенному набору целых чисел ( , , ), будем называть узлом. Каждому узлу в пространстве квантовых чисел соответствует определенное квантовое состояние электрона, точнее не одно, а два состояния, которые различаются проекциями спина электрона . Объем в пространстве квантовых чисел, приходящийся на один узел, равен единице, т.е. .

Найдем число состояний электрона, энергия которого не превышает некоторое фиксированное значение . Введем обозначение

и перепишем соотношение (6.5) в виде

Выражая отсюда , получаем

(6.21)

Рассмотрим сферу радиуса ( рис.6.1 ) . Искомое число квантовых состояний определяется числом узлов, находящихся внутри положительного октанта сферы радиуса . То обстоятельство, что мы рассматриваем не всю сферу, а только ее октант с положительными значениями квантовых чисел , и , обусловлено тем, что в нашей задаче .

Для того, чтобы найти число состояний , нужно объем октанта (т.е. часть объема сферы ) разделить на объем , приходящийся на один узел, и умножить получившееся выражение на коэффициент 2 , определяющий число возможных проекций спина электрона

Подставляя в это соотношение выражение для (6.21) и учитывая, что , получаем

(6.22)

Поскольку произведение представляет собой объем потенциальной ямы , а есть нерелятивистский импульс электрона , то соотношение (6.22) можно представить в виде

(6.23)

Для того, чтобы наиболее отчетливо выявить смысл полученного выражения, рассмотрим фазовое пространство - шестимерное пространство с взаимно перпендикулярными осями . Полный объем в этом пространстве равен произведению объема в пространстве координат на объем в пространстве импульсов . Здесь - максимальный импульс электрона, соответствующий максимальной энергии . Таким образом,

(6.24)

и выражение (6.23) принимает вид

(6.25)

Множитель 2 в (6.25) , как уже отмечалось, определяет число возможных проекций спина электрона, а множитель определяет число состояний, связанных с движением электрона в яме. Подчеркнем, что число состояний пропорционально фазовому объему .

Отметим еще один важный результат, вытекающий из соотношения (6.25). Из вида (6.25) следует, что объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, равен . Запишем это утверждение следующим образом

(6.26)

где - размеры ячейки в фазовом пространстве, приходящейся на одно состояние. Поскольку все пространственные координаты , и равноправны, то для одной координаты, например , получаем

Таким образом, в фазовом пространстве на одно состояние для каждой координаты приходится объем, равный .

Этот результат, как легко видеть, согласуется с принципом неопределенности. Действительно, размеры ячейки фазового пространства, приходящейся на одно состояние, должны определяться теми ограничениями на значения координаты и импульса, которые накладывают соотношения неопределенностей (2.16).

Напомним, что выражение (6.25) было получено для случая электрона, движущегося в трехмерной потенциальной яме (потенциальном ящике). Обобщение этого результата на случай произвольной частицы, движущейся в яме произвольной формы, приводит к следующему соотношению

(6.27)

Здесь множитель определяет число состояний, не связанных с перемещением частицы в пространстве (например, число возможных проекций спина).

Найдем теперь плотность квантовых состояний , т.е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий. Согласно определению,

Перепишем это выражение в виде

С учетом (6.24) , (6.27) получаем

или, в окончательном виде

(6.28)

Выражение (6.28) является общим, т.е. справедливым для любых частиц. Найдем с его помощью плотность квантовых состояний для электронов и фотонов.

Для нерелятивистских электронов , а множитель = 2. Подставляя эти значения в (6.28) , получаем

(6.29)

Для фотонов , где - скорость света в вакууме, а множитель также равен двум, поскольку из-за поперечности световой волны проекция спина фотона может принимать два значения. Следовательно

(6.30)

------------------------------------------------