Запись мощности в комплексной форме

Выражение для мощности цепи в комплексной форме, как и в классическом методе, будем искать через произведение комплексов действующих значений тока и напряжения:

U· = Ue^ju·Ie^-ji = U·I·e^j(u-i) = U·I·e^j = U·I·cos + j·U·I·sin = P + j·Q.

Следовательно, S = U· ; P = Re(S); Q = Im(S).

Если учесть соотношения

R = Z·cos; x = Z·sin; Z = R + j·x; Y = Z^-1; U = Z·I; I = Y·U,

можно получить и такие формулы для мощностей (для приёмников):

S = Z·I² = ·U²; P = R·I²; Q = x·I².

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи должен соблюдаться баланс мощностей. Однако в цепях синусоидального тока, в отличие от цепей постоянного тока, соблюдается не только баланс активных мощностей, ещё и баланс реактивных мощностей, т.е. Р_ист = Р_пр; Q_ист = Q_пр. Баланса же полных мощностей не существует.

Понятие о топографических диаграммах (ТД) (задачи 3.33-3.34 /5/)

ТД используются для суждения о напряжениях между различными точками схемы. Они представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причём каждой точке схемы соответствует определённая точка ТД. Точке отсчёта, потенциал которой принят равным нулю, на ТД соответствует начало координат. Векторы напряжений направлены относительно точек ТД противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек схемы. По ТД можно определить напряжение между любыми точками схемы. Для этого достаточно соединить соответствующие точки ТД отрезком и придать получившемуся вектору надлежащее направление. Обычно ТД строится совместно с ВД токов.

Падение и потеря напряжения в линиях электропередачи

И сточники питания соединяют с приёмниками линиями электропередачи (ЛЭП), которые обладают активным r_л и индуктивным x_л сопротивлениями проводов. Построим векторную диаграмму цепи (рис. 3.37), состоящей из источника питания, ЛЭП и нагрузки. Для определенности примем, что нагрузка носит активно-индуктивный характер. Напряжение на нагрузке U₂ направим по вещественной оси. Под падением напряжения в линии понимают геометрическую разность векторов (комплексов) напряжения в начале и в конце линии, т.е. ∆U = U₁ – U₂ = I(r_л + jx_л). Потеря напряжения есть разность между показаниями вольтметров в начале и конце линии, то есть U = U₁ – U₂. В общем случае, как видно из ВД, U < ∆U.

Цепи с взаимной индуктивностью

Основные понятия и определения (задачи 3.47-3.48, 3.56 /5/)

Е сли изменение тока в одном элементе цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Примером таких элементов являются катушки трансформатора (рис. 3.38). Ток i₁, проходя через катушку с числом витков w₁, создаёт магнитный поток самоиндукции Ф₁₁ = Ф_1М + Ф_1S. Часть этого магнитного потока Ф_1М пронизывает вторую катушку с числом витков w₂ и называется потоком взаимной индукции или основным магнитным потоком, а другая часть Ф_1S сцепляется только с витками w₁ первой катушки. Эта часть магнитного потока называется потоком рассеяния первой катушки.

Умножив магнитные потоки на соответствующие числа витков катушек, получим потокосцепления: ₁₁ = w₁·Ф₁₁ и _1S = w₁·Ф_1S – потокосцепления самоиндукции и рассеяния первой катушки; ₁₂ = w₂·Ф_1М – взаимной индукции первой и второй катушек. Потокосцепления и магнитные потоки измеряются в Веберах (1Вб = 1 В·сек). Обычно Ф_S<<Ф_М.

Все перечисленные потоки пропорциональны току первой катушки i₁. Коэффициент пропорциональности между потокосцеплением ₁₁ и током i₁ называется индуктивностью первой катушки: L₁ = . Аналогично, M₁₂ = – взаимная индуктивность первой и второй катушек;

L_1S = – индуктивность рассеяния первой катушки.

Всё сказанное относится и ко второй катушке:

M₂₁ = ; L₂ = ; L_2S = .

Равенство M₁₂ = M₂₁ = M доказывается, исходя из условия независимости энергии магнитного поля токов i₁ и i₂ от порядка их возрастания от нуля до своих конечных значений. Степень индуктивной связи характеризуют коэффициентом связи

K_св = = = .

0 K_св1, поскольку ₁₂₂₁₁₁₂₂ K_св = 1, только если Ф_1S = Ф_2S = 0.

Абсолютные значения ЭДС и напряжений взаимной индукции по закону электромагнитной индукции равны

|u_1M| = |e_1M| = = M и |u_2M| = |e_2M| = = M .

Для решения вопроса о знаке этих двух величин вводят понятие одноимённых выводов. Два вывода, принадлежащие двум разным индуктивно связанным элементам цепи, называются одноимёнными, если при одинаковом направлении токов относительно одноимённых выводов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. Например, одноимённые выводы на рис. 3.38 обозначены «*». Направления магнитных потоков определяются по правилу правой руки или по правилу “буравчика”.

Напряжение и ЭДС взаимной индукции в одной катушке и ток другой катушки, создавший эти напряжение и ЭДС, направлены относительно одноимённых зажимов одинаково (рис. 3.38). При этом

u _1M = – e_1M = = M .

В комплексной форме U_1M = – E_1M = j·M·I₂.

Величина M имеет размерность сопротивления и называется сопротивлением взаимной индукции и обозначается x_M = M.

С учётом этого правила можно предложить способ практического определения одноимённых зажимов. Для этого требуется гальванический элемент и гальванометр (рис. 3.39). При включении первой катушки возникает кратковременный ток i₂. Если стрелка прибора отклоняется в сторону шкалы (имеется в виду гальванометр с односторонней шкалой), то “плюсы” прибора и гальванического элемента подключены к одноимённым зажимам.