Определение ёмкости батареи конденсаторов, необходимой для повышения коэффициента мощности

Батарея статических конденсаторов используется для повышения коэффициента мощности активно-индуктивной нагрузки. Чтобы не возникало перенапряжений, которые могут иметь место при резонансе напряжений, она включается параллельно с нагрузкой. Схема включения на рис. 3.34. Расчёт цепи до подключения конденсаторов: Z_н = ; I_н = ;

S_н = U_н·I_н; P = R_н(I_н)²; Q_н = P·tg _н; cos _н = .

Пусть требуется повысить cos_н до cos. Исходим из допущения, что потребляемая активная мощность остается неизменной. Реактивная мощность после компенсации:

Q = P·tg.

Таким образом, реактивная мощность конденсаторов:

Q _C = Q_н – Q = P (tg _н – tg).

Ток, сопротивление и ёмкость батареи конденсаторов:

I_C = ; x_C = = ; C = = = P .

ВД показана на рис. 3.35.

Конденсаторы для повышения коэффициента мощности нормируются в квар.

Символический метод расчёта цепей синусоидального тока (задачи 3.29-3.34 /5/)

О формах изображения и записи комплексных чисел

Комплексное число может быть изображено на комплексной плоскости (рис. 3.36) в виде точки с координатами A[Re(A);Im(A)] или радиус-вектора, а также записано в одной из четырёх форм аналитической записи.

а) A = A·e^j – показательная форма записи. Удобна при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня, взятии логарифма.

б) A = A₁ + j·A₂, где A₁ = Re(A), A₂ = Im(A) – алгебраическая форма записи. Удобна при сложении и вычитании.

в) A = A – полярная форма записи. Применяется для краткости записей в основном в печатных изданиях.

г) A = A·cos + j·A·sin – тригонометрическая форма записи. Является основой перехода от показательной формы к алгебраической и наоборот.

Здесь A₁ = A·cos, A₂ = A·sin, А = .

Если A₁  0,  = arctg ; A₁ 0,  = 180 + arctg .

Кстати, = A₁ – j·A₂ = A·e ^-j – сопряжённое комплексное число, которое отличается от A знаком мнимой части или знаком аргумента .

В заключение рассмотрим частные случаи, связанные с поворотным множителем и с мнимой единицей:

Умножение на ±j соответствует повороту вектора, изображающего комплексное число, на 90 (½); в) j² = – 1; j³ = – j; j⁴ = 1; в связи с этим j никогда не встречается в степенях, например, j⁷ = j⁴j²j = – j.

Запись законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Рассмотрим последовательное соединение R, x_L, x_C (рис. 3.16). Но вместо источника напряжения u(t) будет действовать источник ЭДС e(t). Пусть

i(t) = I_m·sin(t + _i).

Уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений имеет вид:

e(t) = Е_m·sin(t+_е) = u_R+u_L+u_C =

= R·I_m·sin(t+_i + 0) + x_L·I_m·sin(t+_i + 90) + x_С·I_m·sin(t+_i – 90).

E_m·e^{j(t+е)} = R·I_m·e^{j(t+i+0)} + x_L·I_m·e^{j(t+i+90)} + x_C·I_m·e^{j(t+i-90)}

Или после сокращения на ejt:

E_m·e^jе = R·I_m·e^ji·e^j0 + x_L·I_m·e^ji·e^j90 + x_C·I_m·e^ji·e^-j90. (*)

Отсюда следует, что сопротивления цепи в комплексной форме записываются в виде:

R  R·e^j0 = R·cos0 + j·R·sin0 = R + j·0,

X_L  x_L·e^j90 = x_L·cos90 + j·x_L·sin90 = 0 + j·x_L,

X_C  x_C·e^-j90 = x_C·cos(-90) + j·x_C·sin(-90) = 0 – j·x_C,

Z = Z·e^j = R + j(x_L –x_C).

Уравнение (*) можно переписать иначе

E_m = R·I_m + j·x_L·I_m – j·x_C·I_m = U_Rm + U_Lm + U_Cm = I_m·(R + j·(x_L – x_C)) = Z·I_m.

Закон Ома: U_m = Z·I_m , U = Z·I.

Второй закон Кирхгофа: Z_q·I_q = E_q.

Из аналогичного рассмотрения параллельного соединения элементов вытекает первый закон Кирхгофа: I_q = 0.

Вывод: ранее изученные методы расчёта и преобразования сложных цепей базируются на законах Ома и Кирхгофа. В цепях синусоидального тока эти законы справедливы в комплексной форме. Поэтому методы расчёта сложных цепей постоянного тока здесь справедливы также, но в комплексной форме.