Ёмкостный элемент c

Идеализированный ёмкостный элемент (рис. 3.13 - а) линейный; б) нелинейный; в) параметрический) учитывает наличие электрического поля в устройстве и позволяет реализовать интегральную связь между напряжением и током при создании математической модели. Ток элемента i_C прямо пропорционален скорости изменения заряда на нём:

i_C(t) = ; q(t) = = q(0) + .

Ё мкостный элемент характеризуется связью между зарядом и напряжением (кулон-вольтной характеристикой) (рис. 3.14, 1 – линейная ёмкость; 2 и 3 – нелинейная): q = f(u_C). Для линейного элемента заряд прямо пропорционален напряжению: q = C·u_C. Таким образом,

i_C(t) = C ; u_C(t) = u_C(0) + .

Коэффициент пропорциональности C называется ёмкостью элемента. Измеряется в Фарадах. 1 Ф – физически большая величина, емкость часто выражается в микрофарадах или пикофарадах.

Сравнивая индуктивность и ёмкость, можно заметить дуальность, существующую между ними в отношении тока и напряжения. Так же, как индуктивность препятствует изменениям тока, ёмкость препятствует изменению напряжения. Ёмкость аналогична коэффициенту упругости пружины.

Ёмкость может накапливать энергию в электрическом поле. Мощность, потребляемая ёмкостным элементом, p_C = u_C·i_C = C·u_С , а энергия –

w(t) = = = = ½C[u_C(t)]².

Значение энергии зависит только от величины напряжения и не зависит от способа его достижения. Запасённая энергия возвращается в цепь при уменьшении напряжения до нуля.

И зучим поведение ёмкстного элемента в цепи пременного тока (рис. 3.15). Будем считать напряжение заданным: u_С(t) = U_Cm·sin(t + _u). Выражение для тока найдём как изменение заряда ёмкости во времени.

i_C(t) = = C = C··U_Cm·cos(t + _u) =

= U_Cm·sin(t + _u + 90^o) = I_Cm·sin(t + _i).

Как и в случае с индуктивностью между током и напряжением возникает сдвиг по фазе 90. Однако, в данном случае ток опережает напряжение, или напряжение отстаёт от тока:

 _i = _u + 90°,  = _u – _i = – 90°.

Синусоидальному току ёмкость оказывает сопротивление, равное

x_C = = .

Закон Ома справедлив лишь для действующих и амплитудных значений, так как ток iC(t) и напряжение uC(t) сдвинуты по фазе на 90.

u_C(t)  x_C·i_C(t), U_C = x·I_C, U_Cm = x_C·I_m.

Векторная диаграмма имеет вид рис. 3.16.

Мгновенная мощность

p_С(t) = u_С(t)·i_С(t) = U_Cm·I_Cm·sin(t + _u)·sin(t + _i) = U_C·I_C·sin[2(t + _u)] .

Мгновенная мощность является синусоидальной функцией удвоенной частоты. Следовательно, средняя мощность в реактивном элементе равна нулю: P_C = 0, то есть емкость – реактивный элемент.

Запасенная в электрическом поле емкости энергия

w_C(t) = + w_C(0),

где энергия в электрическом поле в момент t = 0:

w_C(0) = C = C = C· ·½ [1 – cos2_u] = [1 – cos2_u].

Таким образом,

w_C(t) = [1 – cos(2t + 2_u)] = C· ·½ [1 – cos(2t + 2_u)] = C .

Временная диаграмма для ёмкостной цепи такая же, как для индуктивной после перемены местами u и i. Как и в случае с индуктивностью, в ёмкостной цепи наблюдается обмен энергией между источником и потребителем. Произведение Q_C = U_C·I = х_C·I² дает реактивную мощность: Q_C = 2·w_Ccp = p_Cmax.

Е мкостная реактивная мощность условно считается отрицательной ввиду опережения током напряжения. То есть Q = – х_C·I².

Последовательное включение R, L, C элементов (рис. 3.17)

(задачи 3.2-3.4 /5/)

Пусть i(t) = I_m·sin(t + _i).

Входное напряжение цепи найдём по второму закону Кирхгофа:

u(t) = u_R + u_L + u_C =

= R·I_m·sin(t + _i) + x_L·I_m·sin(t + _i + 90) + x_С·I_m·sin(t + _i – 90) =

= I_m·[R·sin(t + _i) + (x_L – x_C)·cos(t + _i)] =

= ·I_m·sin(t + _i + ) = Z·I_m·sin(t + _i + ) = U_m·sin(t + _u),

так как m·sin  n·cos = ·sin(),

причём  = arctg = arctg .

Получим теперь выражения для мгновенной и активной мощностей цепи:

p(t) = u(t)·i(t) = U_m·I_m·sin(t + _u)·sin(t + _i) =

= U I ·½·[cos( – ) – cos( + )] = U·I·cos – U·I·cos(2t + 2_i + ).

P = = U·I·cos = Z·I·I·cos = R·I².

Таким образом, для цепи с последовательным соединением R, L, C справедливы следующие расчётные соотношения:

- полное сопротивление цепи Z = ,

- сдвиг фаз между напряжением и током  = _u – _i = arctg ,

- закон Ома U_m = Z·I_m , U = Z·I,

- второй закон Кирхгофа U = ,

- активная мощность цепи P = U·I·cos  = R·I² = U_a·I.

Н а основании полученных соотношений можно построить ВД и треугольник сопротивлений цепи (рис. 3.18). Они построены для случая x_L > x_C. При этом

R = Z·cos·; x = x_L – x_C = Z·sin; U_a = R·I; U_p = (x_L – x_C)·I = x·I.

U_а и U_р называются активной и реактивной составляющими напряжения. Активная – такая составляющая напряжения, вектор которой по направлению совпадает с током, а вектор реактивной составляющей перпендикулярен направлению вектора тока. Временная диаграмма для последовательного соединений на рис. 3.19.

Резонансные явления в цепях синусоидального тока (задача 3.5 /5/)

П усть имеем сложную линейную цепь, содержащую R, L, C – элементы, питаемую от источника синусоидального напряжения (рис. 3.20)

u(t) = U_m·sin(t + _u).

В цепи создадутся вынужденные колебания, и все напряжения и токи будут изменяться с одинаковой частотой  по синусоидальному закону. Например, входной ток – i(t) = I_m·sin(t + _i).

К ак известно, резонансом называется процесс вынужденных колебаний с такой частотой, при которой интенсивность колебаний максимальна. Но характеризовать их интенсивность можно по различным проявлениям, максимумы которых наблюдаются при различных частотах. Если за критерий резонанса берётся максимум значения заряда конденсатора или тока в индуктивности, то этим определяется амплитудный резонанс. Если в качестве критерия используется совпадение по фазе тока и напряжения на входных зажимах, то получим фазовый резонанс. Например, _u = _i. В этом случае  = _u – _i = 0, cos = 1, x = Z·sin = 0, то есть цепь имеет чисто активный характер (Z = Z·cos = R), несмотря на наличие реактивных элементов. Частоты, при которых наблюдается фазовый или амплитудный резонансы, не всегда совпадают с частотой собственных колебаний. Мы будем исходить из фазового резонанса.

Рассмотрим резонанс в последовательном контуре R – L – C (рис. 3.17). Для этой цепи резонанс наступает при х = х_L– х_C = 0 или L = 1/(C). При этом значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и ёмкости равны (рис. 3.21). Возникает резонанс напряжений. Напряжения на индуктивности и ёмкости при этом могут значительно превышать напряжение на входных зажимах цепи, которое равно напряжению на активном сопротивлении (при x_L=x_C>R). В пределе при R = 0 U_L = U_C = . Резонансная частота угловая – ₀ = 1/ , а резонансная частота циклическая – f₀ = .

Индуктивное и ёмкостное сопротивления при резонансе

₀L = 1/(₀C) = =  – характеристическое сопротивление цепи.

Отношение U_L/U = U_C/U = I/(RI) = /R = Q называется добротностью контура.