Ток в цепи

I = U/Z = .

Очевидно, что ток максимален при  = ₀ – при резонансе. Полное же сопротивление цепи Z = = R минимально и равно активному сопротивлению цепи. Поэтому ток по фазе совпадает с входным напряжением:  = 0, cos  = 1.

x _L и x_C зависят от частоты, поэтому укажем частотные характеристики цепи (х, х_L, х_C()) (рис. 3.22). Графические изображения зависимостей (), I(), U_L(), U_C() называются резонансными кривыми. Они приведены на рис. 3.23.

Резонанса можно достичь, изменяя одно из реактивных сопротивлений, например, L (рис. 3.24). На рис. 3.24а показаны кривые для случая, когда при резонансе Q < 1, а на рис. 3.24б – Q > 1.

При резонансе в любой момент времени u_L и u_C равны по величине и противоположны по знаку, а протекающий по ним ток – один и тот же, поэтому равны по величине и противоположны по знаку мгновенные мощности индуктивности и ёмкости (р_L = – р_С). Это означает, что накапливание энергии магнитного поля происходит исключительно за счет энергии электрического поля и наоборот, то есть индуктивность и ёмкость обмениваются энергией друг с другом, а не с источником. Вся же энергия, поступающая от источника, расходуется в R в виде тепла.

П араллельное включение R, L, C (рис. 3.25)

(задачи 3.6, 3.7 /5/)

Пусть u(t) = U_m·sin(t + _u).

Входной ток определим по первому закону Кирхгофа:

i(t) = i_R + i_L + i_C = U_m·sin(t + _u) + U_m·sin(t + _u – 90) +

+ U_m·sin(t + _u + 90) = U_m·[g·sin(t + _u) – (b_L – b_C)·cos(t + _u)] =

= ·U_m·sin(t + _u – ) = Y·U_m·sin(t + _u – ) = I_m·sin(t + _i),

причём  = _u – _i = arctg .

Таким образом, для цепи с параллельным соединением R, L, C расчётные соотношения записываются через проводимости:

- проводимости – активная – g = ,

реактивные – b_L = ; b_C = ;

полная – Y = ,

- закон Ома I_m = Y·U_m , I = Y·U,

- активная и реактивная составляющие тока

I_a = g·U, I_p = b·U = (b_L – b_C)·U,

- первый закон Кирхгофа I = .

О пределение активной и реактивной составляющих тока дается подобно определению составляющих напряжения, данному в предыдущем разделе.

ВД и треугольник проводимостей цепи на рис. 3.26. Они приведены для случая b_L > b_C.

Здесь g = Y·cos ; b = b_L – b_C = Y·sin;

Y = .

Таким образом, при последовательном соединении элементов расчёт цепи по закону Ома следует вести через полное Z сопротивление в действующих или амплитудных значениях. ВД целесообразно начинать строить с вектора тока, по отношению к которому векторы напряжений U_R, U_L, U_C будут либо параллельны, либо перпендикулярны. При параллельном включении элементов расчёт следует вести через полную Y проводимость в действующих или амплитудных значениях, а ВД начинать с вектора напряжения, по отношению к которому векторы токов следует строить по составляющим I_R, I_L, I_C.

Временная диаграмма для параллельной цепи на рис. 3.19.

С мешанное включение элементов. Эквивалентная замена параллельного участка последовательным (задачи 3.19-3.25 /5/)

Расчёт цепи при смешанном соединении элементов выполняют, сводя её к чисто последовательной или к чисто параллельной. Для этого, например, параллельный участок (рис. 3.27) необходимо заменить эквивалентным последовательным. Это выполняют, определяя проводимости участка g и b. Поэтому такой подход к расчёту называют методом проводимостей или методом векторных диаграмм. Рассмотрим формулы для взаимного эквивалентного перехода от параллельного к последовательному соединению элементов.

I = Y·U = , Z = ,

cos = , R = , g = ,

sin = , x = , b = .

Векторную диаграмму цепи при смешанном соединении элементов целесообразно начинать с самого удалённого от источника участка. Построение диаграммы идёт от конца к началу схемы.

Теперь рассмотрим резонанс в параллельном контуре (рис. 3.25). Резонанс наступает, если b = b_L – b_C = 0, но b_L = ; b_C = C; тогда = ₀C и ₀ = 1/ – та же формула, что и при резонансе напряжений.

В екторная диаграмма с учётом равенства I_L = I_C (равны проводимости b_L = b_C) и противоположного их направления имеет вид рис. 3.28.

Полная проводимость цепи

Y = = g =

минимальна при резонансе и имеет чисто активный характер, поэтому и ток I=U·Y при резонансе минимален, а по фазе совпадает с напряжением. Реактивные составляющие токов равны по величине и противоположны по фазе:

I_L = U·b_L = U·b_C = I_C.

Т оки в реактивных элементах могут быть значительно больше входного тока в цепи. Это зависит от соотношения проводимостей. Резонанс называется резонансом токов. Частотные характеристики имеют вид рис. 3.29.

Интересны резонансные явления в следующей цепи (рис. 3.30). Резонанс наступает, если b = b₁ – b₂ = 0 (*),

г де b₁ = и b₂ = – проводимости ветвей с индуктивностью и ёмкостью, соответственно.

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.31.

Решив уравнение (*) относительно угловой частоты, получим

_рез = .

Резонанс возможен, если R₁ и R₂ оба больше или меньше , иначе подкоренное выражение будет отрицательным. При R₁ = R₂   резонансная частота будет такой же, как и в последовательном контуре. При R₁ = R₂ =  резонансная частота ₀ = 0/0 имеет любое значение, то есть резонанс наблюдается на любой частоте. Это так называемый безразличный резонанс.

В общем случае при R₁  0 и R₂  0 входная проводимость отлична от нуля при любой частоте, поэтому ток I ни при одном значении частоты не равен нулю. Анализ показывает, что при условии R₁< и R₂< зависимость I=f() при U = const имеет минимум, причём при частоте, отличающейся от резонансной. Это видно на рис. 3.32. Кривая 1 отражает случай R₁> и R₂>, а кривая 2 - R₁< и R₂<, причем R₂<R₁.

В сложных разветвлённых цепях с несколькими индуктивностями и конденсато-рами условия фазового резонанса b=0 или x=0 дают для частоты  уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней, то есть у разветвлённой цепи может быть несколько резонансных частот.