Расчёт трёхфазных цепей в общем случае

Р асчёт при соединении звездой (задачи 4.14-4.15 /5/)

Схема на рис. 4.9, кроме того,

U_A= U_B·e^j120 = U_C·e^-j120, Z_A  Z_B  Z_C  Z_N.

Если подойти к этой цепи с меркой сложной цепи синусоидального тока, то мы увидим, что эта цепь имеет два узла и рассчитывать её нужно МДУ.

Узловое напряжение, называемое в трёхфазных цепях напряжением смещения нейтрали, определяется по формуле

U = .

Фазные напряжения приёмника найдём, используя второй закон Кирхгофа

U_a = U_A – U , U_b = U_B – U , U_c = U_C – U .

Фазные (они же линейные) токи находятся по закону Ома:

I_A = U_a/Z_A, I_B = U_b/Z_B, I_C = U_c/Z_C.

Т ок нейтрали I_N = I_A + I_B + I_C.

Активная и реактивная мощности цепи

P = P_A + P_B + P_C = Re(U_{a A} + U_{b B} + U_{c C} + U _N).

Q = Q_A + Q_B + Q_C = Im(U_{a A} + U_{b B} + U_{c C} + U _N).

Топографическая диаграмма, совмещённая с ВД токов (рис. 4.10) строится в том же порядке, в каком производился расчёт. Как видно из ТД, в случае большого сопротивления нейтрального провода (тем более при отсутствии его), фазные напряжения приёмника могут существенно отличаться от фазных напряжений источника. Поэтому для выравнивания фазных напряжений приёмника используется нулевой провод с малым (в идеале с нулевым) сопротивлением, причём предохранитель в этом проводе не ставится, так как может перегореть.

Примечание. Если Z_N = 0, то трёхфазная цепь может быть представлена эквивалентной несвязной цепью и каждая фаза рассчитана отдельно на основании закона Ома: U_a = U_A, U_b = U_B, U_c = U_C;

I_A = U_A/Z_A, I_B = U_B/Z_B, I_C = U_C/Z_C.

Ток в нейтрали – по первому закону Кирхгофа: I_N = I_A + I_B + I_C.

Расчёт при соединении треугольником (задачи 4.16-4.17 /5/)

Схема на рис. 4.11, кроме того,

U_AB = U_BC e^j120 = U_CAe^-j120, Z_ab  Z_bc  Z_ca.

Сначала находятся фазные токи:

I_ab = U_AB/Z_ab, I_bc = U_BC/Z_bc, I_ca = U_CA/Z_ca.

А затем по первому закону Кирхгофа линейные токи:

I_A = I_ab – I_ca, I_B = I_bc – I_ab, I_C = I_ca – I_bc.

Мощности цепи:

- полная комплексная S = (U_{ab ab}+ U_{bc bc} + U_{ca ca});

- активная мощность P = Re(S); реактивная мощность Q = Im(S).

Строятся либо ТД с ВД токов (рис. 4.12), либо ВД напряжений и токов (рис. 4.13).

Особые случаи несимметрии

(задачи 4.21-4.25 /5/)

О собыми называются случаи несимметричной нагрузки, которые возникают из симметричной в результате повреждения, аварии. Например: обрыв или короткое замыкание в некотором месте сети. Тем не менее, не все подобные случаи являются аварийными, и цепь в таком виде может ещё долгое время работать. Эти случаи представляют интерес, поскольку для них справедливы соотношения, не зависящие от величины и характера нагрузки. Рассмотрим эти случаи.

В звезде с нейтралью только обрыв одного из проводов не представляет опасности. Ток в повреждённой фазе равен нулю, а токи и напряжения здоровых фаз не меняются. Ток нейтрали равен сумме токов здоровых фаз (пример обрыва в фазе А на рис. 4.14), то есть току, который протекал в симметричном режиме в поврежденной фазе, взятому с обратным знаком. Говорят, что нейтраль принимает на себя ток поврежденной фазы. При этом потребляемая мощность снижается на ⅓ (так как осталось две фазы из трёх).

В звезде без нейтрального провода допустимы как обрыв одного из линейных проводов, так и короткое замыкание некоторой фазы. Вначале рассмотрим обрыв в фазе А (рис. 4.15) - Z_A= ¥.

U = = = – .

U_a = U_A – U = 1,5·U_A,

U_b = U_B – U = ½U_BC,

U_c = U_C – U = – ½U_BC.

По модулю U_b = U_c = U_ф.

Цепь становится однофазной. Поэтому токи I_A = 0; I_B = – I_C = U_BC/(2Z_ф).

Мощности цепи:

P = R_ф(I_B)² + R_ф(I_C)² =2R_ф(I_B)² = R_ф = R_ф = R_ф(I_ф)² = ½P₀.

Q = 1,5x_ф·(I_ф)² = ½Q₀.

Здесь P₀ и Q₀ – мощности цепи до повреждения, в симметричном режиме.

ВД имеет вид рис. 4.16.

В ыводы.

1. При обрыве одной фазы потенциал нейтральной точки на топографической диаграмме смещается на середину стороны треугольника ABC, противоположной вершине, соответ-ствующей повреждённой фазе.

2. Напряжение на повреждённой фазе увеличивается в 1,5 раза, а на здоровых фазах снижается до U_л /2 = U_ф /2 = 0,86U_ф.

3. Токи в здоровых фазах также уменьшаются до 0,86I_ф0.

4. Потребляемая мощность уменьшается вдвое.

Р ассмотрим короткое замыкание фазы А потребителя. Схема и диаграмма на рис. 4.17 и 4.18. Потенциал нейтральной точки смещается в вершину треугольника АВС, соответствующую повреждённой фазе. При этом напряжения на здоровых фазах увеличиваются до линейных. Соответственно, токи в этих фазах возрастают в раз:

U _b = U_BA, U_c = U_CA, U_a = 0; I_B = , I_C = .

Ток повреждённой фазы определяется по первому закону Кирхгофа:

I_A = – I_B – I_C = – = = 3I_A0,

то есть ток повреждённой фазы возрастает в 3 раза.