9.5.4 Правило а.Н Верещагина при определении перемещений по формуле Мора

_{В ычисление интеграла Мора (9.12)}

_(а)

_{для определения перемещений в упругих системах может быть упрощено. Это возможно тогда, когда участки элемента конструкции имеют постоянную изгибную жесткость EJx и одна из подынтегральных.функций линейна.}

_{Пусть на некотором участке элемента конструкции известны грузовая Мр и единичная эпюры изгибающих моментов (рис 9.17). Тогда элемент площади грузовой эпюры dω=M(z)dz. Интеграл (а) перепишем так:}

Но ордината единичной эпюры (z)=z·tgα.

Тогда . А интеграл

.

Поэтому

_{Так как}

_{Следовательно}

_{Если же участков в элементе конструкции будет n то обобщенное перемещение нужно определять такой суммой:}

(9.13)

В соответствии с формулой (9.13) искомое перемещение равно сумме произведений площадей грузовой эпюры изгибающих моментов на ординаты единичной эпюры, расположенные под центрами тяжести площадей грузовой эпюры. Это и есть правило Верещагина.

Рассмотрим последовательность использования формулы А.Н. Верещагина (9.13) для определения перемещений.

1. Строится грузовая эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки.

2. Выбирается единичное состояние для определения искомого перемещения. Выбор единичного состояния зависит от вида и направления искомого перемещения:

а) при определении линейного перемещения по заданному направлению прикладывается единичная сила (безразмерная величина);

б) при определении углового перемещения по заданному направлению прикладывается единичный момент (безразмерная величина);

в) при определении взаимного сближения или удаления точек по заданному направлению прикладываются по этому направлению противоположно направленные единичные силы (безразмерные величины);

г) при определении взаимного угла поворота сечений прикладываются по этому направлению противоположно направленные единичные моменты (безразмерные величины).

3. Строится соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов.

4. Пользуясь таблицей (9.1), разбивают грузовую эпюру изгибающих моментов на простейшие фигуры. Вычисляют их площади и наносят центры тяжести, которые сносят на единичную эпюру моментов, отмечая соответствующие ординаты и вычисляя их значения по геометрическим соображениям.

Таблица 9.1

5. Применяем формулу (9.13) и определяем перемещение.

Приводим некоторые примеры разбивки плоских фигур на простейшие.

Н а рисунке 9.18 показаны некоторые варианты разбивки сложных фигур на простейшие, представленные в таблице 9.1. Тремя цифрами указаны соответствующие треугольники, а двумя цифрами стягивающие хорды парабол с указанием знаков их площадей.

При перемножении площадей следует пользоваться правилом знаков: если площадь грузовой эпюры и ордината под её центром тяжести на единичной эпюре находятся по одну сторону от оси элемента конструкции, то их произведение будет положительным.

З нак «+» результата вычисленного перемещения будет указывать на совпадение этого перемещения с направлением единичного силового фактора. В случае, если грузовая эпюра очерчена квадратной параболой, то вместо формулы Верещагина можно пользоваться формулой Симпсона - Карноухова:

(9.14)

Формула Симпсона-Карноухова поясняется рисунком 9.19.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение правила Верещагина при определении перемещений в балке.

П ример 9.6. Определить прогиб и угол поворота сечения «к» (рис. 9.20).

Решение

1. Строим эпюру изгибающих моментов М_р от действия заданной нагрузки q.

2. Разбиваем грузовую эпюру М_р на простейшие фигуры и определяем их площади:

;

3) Для определения прогиба в точке «к» прикладываем силу равную единице. Строим первую единичную эпюру . Определяем ординаты этой эпюры под центрами тяжести площадей ω_i (i=1,2,3).

4. Выполняем перемножение эпюр в соответствии с правилом Верещагина (9.13)

5. Для определения углового перемещения сечения «к» прикладываем в нем единичный момент и строим вторую единичную эпюру изгибающих моментов . Вычисляем ординаты этой эпюры под центрами тяжести площадей ω_i (i=1,2,3).

6. Выполняем перемножение эпюр в соответствии с правилом Верещагина (9.13)

Эта же задача была ранее решена по формуле Мора. Как видно результаты расчета полностью совпадают.