9.4. Метод начальных параметров определения перемещений при изгибе балок постоянной жесткости

Р ассмотрим консольную балку, загруженную системой сосредоточенных силовых факторов

Запишем для каждого участка балки дифференциальные уравнения (9.4). При действии указанной нагрузки ось балки изогнется. Определим прогибы и углы поворота сечений балки на каждом её участке. Для этого состаим на каждом из них дифференциальные уравнения:

Каждое из этих уравнений дважды проинтегрируем, не раскрывая скобки способом Клебша, получим:

(а)

(б)

(в)

(г)

(д)

(е)

_{Н айдем соотношения между постоянными интегрирования из условия непрерывности функций углов поворота и прогибов. Так при z=am углы поворота φ}^I_=φ^II _{и прогибы v}^I_=v^II_{. Сравнивая формулы (а) и (в) получаем С1=С2 и D1=D2. При z=am углы поворота φ}^II_=φ^III_{и прогибы v}^II_=v^Ш _{путем сравнения (в) с (д), а также (г) с (е) получаем С2=С3 и D2=D3. А следовательно С1=С2=С3=С и D1=D2=D3=D. Таким образом независимых произвольных постоянный интегрирования осталось только две: С и D.}

_{Выразим постоянные интегрирования С и D через угол поворота φ0 и прогиб v0 в начале координат балки, используя условие при z=0, φ}^I_{=φ0, v}^I_{=v0. В результате получаем C=EJxφ0, D=EJxv0.}

_{А теперь учтем влияние распределенной нагрузки q на угол поворота φ и прогиб v в текущем сечении z балки (рис. 9.8). Воспользуемся способом замены переменной. На расстоянии η выделим элементарный отрезок балки dη в пределах которого распределенную нагрузку q можно считать постоянной. Влияние элементарной силы на угол поворота составит qη}²_{dη/2. Влияние всей распределенной нагрузки на угол поворота будет определяться интегралом:}

(ж)

Интеграл (ж) можно вычислить только при известной функции нагрузки q(z). При q=const интеграл (ж) принимает вид:

(з)

Аналогично можно показать влияние распределенной нагрузки на прогиб v в виде интеграла

(и)

Обобщая полученные результаты, формулы согласно методу начальных параметров для определения углов поворота и прогибов принимают вид:

(9.5)

_(9.6)

_Или

(9.5*)

_(9.6*)

_{где m = z-am, p = z – ap, uн=z-aн, uк=z-aк}

Знак Σ в уравнениях (9.5) и (9.6) означает, что учитываются несколько однотипных внешних нагрузок. Эти формулы могут быть использованы для определения прогибов и углов поворота в балках постоянной жесткости. В них содержатся статические начальные параметры М₀, Q₀, которые для статически определимых балок известны, либо могут быть найдены из условия равновесия.

Кинематические начальные параметры φ₀, v₀ определяются из граничных условий, которые рассмотрены в п. 9.3.

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение уравнений метода начальных параметров по определению угловых и линейных перемещений в статически определимых балках.

П ример № 9.3. Для заданной статически определимой балки методом начальных параметров определить углы поворота φ(z) и прогибы v(z) на свободном краю консоли.

1. Сначала определим опорные реакции:

кН

кН

Проверим определение реакций опор:

.

2. Свяжем балку с системой координат zAy и сформулируем граничные условия: при z=0, v^I=0; при z=5м v^II=0.

3. Так как граничные условия сформулированы через функции прогибов v для первого и второго участков, то запишем уравнения прогибов для этих участков, используя формулу (9.6).

а) Участок I :

(к)

б) Участок II :

(л)

4) Используя первое граничное условие из формулы (к) получаем: EJ_xv₀=0. По формуле (л) с использованием второго граничного условия получаем:

Откуда значение начального параметра: EJ_xφ₀= -57,708/5 = -11,54 кНм²

5) Уравнения углов поворота и прогибов для третьего участка будут иметь вид:

6) Подставляя координаты точки свободного конца консоли z= 7,5, м определим искомые перемещения

После вычислений получаем:

; .

П ример № 9.4. Для заданной статически определимой балки (рис.9.10) определить угол поворота φ в сечении к₁ и прогиб v в точках к₁ и к₂. Применить метод начальных параметров.

1.Определим опорную реакцию А из условия равновесия ∑у=0, то есть

-20-30·2+А=0, откуда А=80 кН.

2) Граничные условия: при z=2 м , v^I=0; z=4 м, φ^II=0.

3) Записываем уравнение прогибов для первого участка и уравнение углов поворота для второго участка по формулам (9.5) и (9.6):

(а)

(б)

4. Подставим граничные условия в уравнения (а) и (б), получаем:

Откуда получаем: .

Так как точка к₁ совпадает с началом координат О выбранной системы осей zOy, то

.

Для определения прогиба в точке к₂ следует использовать уравнение прогибов для второго участка:

Таким образом, центр тяжести сечения, закрепленного вертикальным ползуном, переместится на величину:

.

Знак «минус» указывает на перемещение в отрицательном направлении оси у.