9.6. Статически неопределимые балки
П
ри
перекрытии нескольких смежных пролетов
часто применяют неразрезные балки (рис.
9.21). Такие балки, у которых число
неизвестных усилий превышает возможное
число независимых уравнений равновесия,
называются статически
неопределимыми балками.
Неразрезные балки относятся к статически
неопределимым балкам. Однако могут быть
статически неопределимыми и однопролетные
балки (рис. 9.22).
Степень статической неопределимости балок можно найти по формуле:
η=С-3, (9.15)
где С - число наложенных связей на ось балки. На рис. 9.21 степень статической неопределимости по формуле (9.15):
η=С-3=7-3=4,
а для балки (рис. 9.22):
η=С-3=4-3=1
Следовательно, чтобы рассчитать балку в первом случае необходимо составить четыре дополнительных уравнения, а во втором случае только одно дополнительное уравнение.
Применим для расчета однажды статически неопределимой балки (рис. 9.22) метод начальных параметров. Граничные условия из условия закрепления будут такими: при z=0, v=0, φ=0; при z=l, v=0. Из первых двух условий вытекает, что кинематические параметры v0=0, φ0=0. Поэтому уравнение прогибов для прогиба по методу начальных параметров будет таким:
(а)
Запишем
ещё уравнение равновесия в виде ΣМВ=0
(б)
Подставим вторые граничные условия в уравнение (а) получаем:
,
или
. (в)
Решая совместно уравнения (б) и (в), получаем:
Из уравнения равновесия в виде ΣY=0, найдем реакцию правой опоры:
А далее построение эпюр М и Q, определение перемещений выполняется обычным путем как для статически определимой балки с известными значениями реактивных усилий и момента Уравнения поперечных сил, изгибающих моментов и углов поворота сечений балки принимают вид:
; 
; 
;
.
П
о
этим уравнениям построены соответствующие
эпюры (рис. 9.23).
Рассмотрим расчет однажды статически неопределимой двухпролетной балки (рис.9.24,а), загруженной сосредоточенной силой Р в середине левого пролета. Причем жесткость балки в правом пролете примем в k раз больше жесткости левого пролета.
Отбросим опору С и заменим её действие на балку неизвестной реакцией С (рис. 9.24б).
Эта балка отличается от заданной балки тем, что точка С получила свободу перемещения в вертикальном направлении (прогиб) Δс. Для раскрытия статической неопределимости воспользуемся условием Δс=0, так как в заданной балке прогиб отсутствует. Для определения Δс воспользуемся принципом независимости действия сил (рис. 9.24в, г), согласно которому:
Δс=Δс(Р)-Δс(С)=0 (1)
Найдем составляющие прогиба Δс по правилу Верещагина. Для этого перемножим эпюры изгибающих моментов (рис. 9.24 д, ж). Получаем:
(2)
Для этого перемножим эпюры изгибающих моментов (рис. 9.24е, ж). Получаем:
(3)
Подставим (2) и (3) в равенство (1) получим:
+
,
Откуда получаем:
(4)
Составляя уравнения равновесия ΣМА=0 и ΣМВ=0, получим:
; 
(5)
В случае если жесткости пролетов одинаковы, то реакции опор будут такими:
; 
; 
(6)
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для этого случая представлены на рис.9.25 с учетом значений реакций (6).
В
случае если жесткость правого пролета
EJx=∞,
то реакции опор будут такими:
; 
; 
(7)
С учетом значений реакций (7) на рис. 9.26 показаны эпюры Q и M.
