Модуль 9. Перемещения при изгибе балок

9.1. Основные понятия

Р анее были рассмотрены вопросы, связанные с исследованием напряженного состояния балок при действии на неё внешних нагрузок. При этом основное внимание было уделено рассмотрению условий, при которых обеспечивается несущая способность балок.

Однако этого недостаточно, чтобы дать полную оценку работы балок под нагрузкой. Балки должны удовлетворять не только условиям прочности, но и условиям жесткости, т.е. при действии на них внешних нагрузок они должны не допускать чрезмерных перемещений.

При расчете строительных конструкций допустимые перемещения регламентируются строительными нормами на проектирование. Таким образом, чтобы выполнить расчеты на жесткость следует научиться определять перемещения, возникающие в балках. Кроме того, как известно, при раскрытии статической неопределимости систем составляются дополнительные уравнения, связывающие между собой перемещения. Следовательно, возникает вторая необходимость определения перемещений.

Какие же перемещения возникают в балках? Какая взаимосвязь существует между ними? Какие зависимости существуют между перемещениями и внутренними усилиями. Каким образом их определить? В дальнейшем нам с вами предстоит ответить на все поставленные здесь вопросы.

Рассмотрим некоторую балку в виде консоли, загруженную силой Р (рис.9.1), связанную с системой координатных осей zoy. При действии этой силы продольная ось балки изогнется, т.е. центры тяжести сечения переместятся на величину u по направлению оси z и на величину v по направлению оси y, а поперечные сечения повернутся на угол φ.

Но составляющая u полного перемещения обычно значительно меньше вертикальной составляющей v, в дальнейшем называемой прогибом в балке. Поэтому составляющей u можно пренебречь и считать, что все точки оси балки перемещаются только по вертикали.

Таким образом, при изгибе балки будем задачи решать относительно двух функций – прогиба v(z) и углов поворота сечений φ(z) в балке, между которыми имеет место дифференциальная зависимость:

(9.1)

Существует несколько методов определения указанных перемещений. В дальнейшем остановимся на некоторых из них. Прежде всего, обратим внимание на метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки.

9.2. Дифференциальное уравнение упруго-изогнутой оси балки

П усть в текущем сечении с координатой z прогиб равен v. В сечении с координатой z+dz его величина равна v+dv (рис.9.2). С одной стороны длина элемента дуги изогнутой оси балки

(а)

С другой стороны , откуда получаем:

(б)

Так как в соответствии с формулой (9.1) φ=arctg , то

(в)

Подставим в формулу (б) по формулам (в) и (а) значения dφ и ds получим выражение для кривизны изогнутой оси балки

(г)

Ранее при выводе формулы нормальных напряжений, была получена формула, связывающая кривизну оси балки с изгибающим моментом

(д)

Приравнивая согласно (г) и (д), получим

(9.2)

Формула (9.2) называется точным дифференциальным уравнение изогнутой оси балки и может применяться при изучении перемещений в гибких балках. Решение такого уравнения представляет значительные математические трудности и выполняется с применением эллиптических функций.

В случае малых перемещений величина углового перемещения φ, как правило, составляет тысячные доли радиана. Поэтому в формуле (9.2) квадратом угла поворота по сравнению с единицей можно пренебречь. После этого структура уравнения (9.2) значительно упрощается и принимает вид:

(9.3)

Формула (9.3) содержит два знака «+» и «-». На рисунке (9.3) видно, что в принятой системе координат zoy положительной кривизне оси балки соответствует положительный изгибающий момент, а отрицательной кривизне оси балки соответствует отрицательный изгибающий момент М. Поэтому в формуле (9.3) следует сохранить только знак плюс. Если бы ось у была направлена вниз, тогда бы в формуле (9.3) следовало бы оставить знак минус. Таким образом, в дальнейшем будем использовать приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в виде:

(9.4)