2. Теорема про складання прискорень при складному русі точки (теорема Коріоліса)

Теорема. Абсолютне прискорення точки при складному русі дорівнює векторній сумі відносного прискорення , переносного прискорення і прискорення Коріоліса :

. (18.6)

Відносне прискорення точки виражається похідною за часом від вектора , тобто

.

Переносне прискорення матеріальної точки дорівнює прискоренню тієї точки тіла G, з якою в даний момент часу співпадає точка М (див. рис. 18.1):

(18.7)

де - прискорення полюса О; - кутове прискорення тіла G.

Через те, що вектори і взаємно перпендикулярні, одержимо:

(18.8)

Напрямок вектора визначається як напрямок вектора, одержаного векторним добутком двох векторів і : векторним (або зовнішнім) добутком двох векторів і називають вектор , який за величиною дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площини, у якій розташовані вектори і та направлений у такий бік, щоб поворот від до на найкоротшому шляху навколо одержаного вектора проходив у

той же бік, що й поворот від осі х до осі у навколо осі z (рис. 18.3).

Довжина вектора С за визначенням дорівнює:

(18.9)

При :

. (18.10)

Прискорення Коріоліса дорівнює:

. (18.11)

Рис. 18.3

Рис. 18.3

Його модуль визначається так:

. (18.12)

Прискорення Коріоліса з'являється лише тоді, коли (коли переносний рух не є поступальним).

Напрямок прискорення Коріоліса знаходять за правилом векторного добутку (див. рис. 18.3).

Для визначення напрямку прискорення Коріоліса зручно користуватись правилом Жуковського: щоб знайти прискорення Коріоліса, необхідно спроектувати відносну швидкість точки на площину, перпендикулярну до осі переносного обертального руху (площину, перпендикулярну до ), і повернути цю проекцію на 90⁰ у бік переносного обертання.

З фізичної точки зору прискорення Коріоліса точки М є величиною, що визначає бистроту зміни її переносної швидкості у відносному русі та бистроту зміни відносної швидкості в переносному русі.

Переносне прискорення точки М є величиною, яка визначає бистроту зміни її переносної швидкості в переносному русі.

Відносне прискорення точки М є величиною, яка визначає бистроту зміни її відносної швидкості у відносному русі.

18.4. Методичні вказівки до розв'язання задач складного руху матеріальної точки

Усі задачі складного руху матеріальної точки можна розділити на три типи.

У задачах першого типу відомими є:

а) відносний і переносний рухи точки - необхідно визначити рівняння абсолютного руху та абсолютну траєкторію;

б) абсолютний і переносний рухи точки – необхідно визначити рівняння відносного руху та відносну траєкторію точки.

У випадку а) задача зводиться до складання (додавання) двох складових рухів точки: відносного та переносного, а у випадку б) - до розкладання відомого абсолютного руху на заданий переносний і невідомий відносний рухи.

У задачах другого типу відомими є:

а) абсолютна та переносна швидкості точки - необхідно визначити відносну швидкість, або відомі відносна та абсолютна швидкості - необхідно визначити переносну швидкість;

б) одна сторона трикутника швидкостей - необхідно знайти два інших елементи цього трикутника.

Розв'язання цих задач пов'язано із застосуванням формули складання швидкостей і його можна провести двома методами: графічним та методом проекцій.

Графічний метод вимагає побудови замкненого трикутника швидкостей або паралелограма швидкостей і визначення сторін та кутів цих геометричних фігур.

Метод проекцій вимагає побудови допоміжної системи координат для встановлення залежності між проекціями абсолютної, відносної та переносної швидкостей точки у вигляді:

. (18.13)

Модуль абсолютної швидкості та її напрямок знаходимо за формулами:

; (18.14)

; ; .

У задачах третього типу необхідно знайти абсолютне прискорення точки, користуючись теоремою про додавання прискорень.

Якщо переносний рух не є поступальним, то переносне прискорення необхідно визначити як геометричну суму обертального прискорення

,

та доосьового прискорення

;

.

Якщо відома траєкторія відносного руху точки, то її відносне прискорення треба обчислювати як геометричну суму нормального і тангенціального (дотичного) відносних прискорень:

(18.15)

У цьому разі абсолютне прискорення дорівнює

(18.16)

Для визначення модуля та напрямку абсолютного прискорення доцільно скористатись методом проекцій.

Вибираємо допоміжну систему і проектуємо ліву та праву частину рівності (18.16) на осі

(18.17)

Модуль абсолютного прискорення дорівнює:

(18.18)

Розв'язувати задачі на складний рух матеріальної точки доцільно в такій послідовності:

1) розкладаємо абсолютний рух точки на два складових рухи: переносний і відносний;

2) вибираємо дві системи координат: одну приймаємо за нерухому, а іншу – за рухому, яку жорстко пов'язуємо з рухомим тілом;

3) для задач першого типу необхідно скласти рівняння відповідного руху точки (відносного або абсолютного). Для складання рівнянь абсолютного руху можна скористатись формулами, які пов'язують координати досліджуваної точки М у системах координат і :

(18.19)

де - координати початку О рухомої системи координат Охуz; - напрямні косинуси кутів між осями рухомої та нерухомої систем координат , їх значення наведено в таблиці 18.1.

Таблиця 18.1

У цій таблиці і т.д.

	x	y	z

Для знаходження траєкторії абсолютного руху треба з рівнянь (18.19) виключити параметр часу t;

4) для задач другого типу треба застосувати теорему про додавання швидкостей;

5) для задач третього типу визначаємо прискорення Коріоліса, відносне та переносне прискорення. Для цього уявно зупинимо переносний рух і знайдемо швидкість і прискорення відносного руху точки, користуючись правилами кінематики точки. Щоб знайти швидкість і прискорення переносного руху, треба уявно зупинити відносний рух та знайти швидкість і прискорення тієї точки рухомої системи координат, з якою в даний момент часу співпадає досліджувана точка.

Вказівка. Для закріплення матеріалу § 18 необхідно розв’язати задачі із збірника: Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1981 (або1986):

1) №№ 21.2; 21.3; 22.12; 22.14; 23.3; 23.27;

2) №№ 21.5; 21.11; 22.17; 22.25; 23.24; 23.41;

3) №№ 21.13; 21.14; 22.26; 23.67; 23.69; 23.70.