20.1. Рівняння обертального руху

Щоб визначити положення твердого тіла в просторі, виконаємо такі побудови. Через вісь обертання тіла, яку назвемо віссю Оz, проведемо півплощину П, нерухому в просторі, та ще одну півплощину П₁, жорстко з’єднану з твердим тілом. Ця півплощина П₁ буде рухомою відносно П, бо вона обертається разом з твердим тілом (рис. 20.1).

Д вогранний кут між півплощинами П і П₁, відлічений від нерухомої півплощини до рухомої, називають кутом повороту твердого тіла. Відповідно до правої системи декартових координат вважають кут повороту додатним, якщо він відлічений проти ходу стрілки годинника, коли дивитись з боку додатного напрямку осі О . Напрямок обертання тіла вважають додатним, якщо кут повороту зростає, та від'ємним, коли зменшується. Усю побудову можна уявити на прикладі трохи відкритих дверей.

Кут повороту рухомої півплощини однозначно визначає й поворот твердого тіла навколо нерухомої осі. При обертанні тіла кожному моменту часу відповідає певне значення кута повороту , тобто кут повороту є функцією часу:

рад. (20.1)

Ф

Рис. 20.1

Рис. 20.1

ункціональну залежність (20.1) називають рівнянням руху тіла навколо нерухомої осі або рівнянням обертального руху. При відомій функції відомий і закон обертального руху твердого тіла.

Функція є неперервною та має похідні за часом не нижче другого порядку.

20.2. Кутова швидкість у випадку рівномірного обертання

Обертальний рух тіла називається рівномірним, якщо рівним між собою проміжкам часу відповідають рівні прирости кута повороту.

Для даного рівномірного обертального руху відношення є сталим:

(20.2)

Звідси:

, (20.3)

де - характеристика швидкості обертання тіла – кутова швидкість.

Кутова швидкість є мірою бистроти обертального руху. Якщо у (20.3) покласти

,

то одержимо рівняння рівномірного обертального руху тіла:

, (20.4)

де - значення кута повороту тіла в момент .

20.3. Кутова швидкість тіла при нерівномірному обертанні

Відношення приросту кута повороту до відповідного проміжку часу дорівнює:

, (20.5)

і є середньою кутовою швидкістю обертального руху в проміжку часу від моменту t до моменту .

Межа, до якої наближається середня кутова швидкість, коли проміжок часу прямує до нуля, називається кутовою швидкістю в даний момент часу t:

с^-1 (рад/c). (20.6)

Отже, кутова швидкість дорівнює першій похідній за часом від кута повороту. Знак кутової швидкості вказує на додатний чи від'ємний напрямок обертання тіла.

20.4. Кутове прискорення тіла у випадку рівноприскореного обертання

Обертальний рух тіла називається рівноприскореним, коли кутова швидкість тіла одержує рівні між собою прирости за рівні проміжки часу. Для такого руху відношення є сталим. Маємо:

(20.7)

де - фізична величина, що характеризує бистроту зміни кутової швидкості, називається кутовим прискоренням тіла та вимірюється в рад/с² (с^-2).

Отже, кутове прискорення рівноприскореного обертального руху тіла визначається відношенням приросту кутової швидкості до відповідного проміжку часу:

. (20.8)

Кутове прискорення – це міра бистроти зміни кутової швидкості.

Якщо абсолютна величина кутової швидкості зменшується, то обертальний рух називається рівносповільненим; для рівносповільненого обертання, наприклад, у додатному напрямку, . Рівноприскорені та рівносповільнені рухи разом становлять групу рівнозмінних обертальних рухів.

Рівняння рівнозмінного руху мають вигляд:

Знак „+“ чи „ - “ ставимо залежно від того, прискорений рух тіла чи сповільнений.