§ 15. Секторна швидкість

Радіус-вектор точки M, що рухається в площині , описує певну площу S (рис. 15.1). Характеристикою швидкості зміни в часі площі S є похідна . Цю величину називають секторною швидкістю. Секторна швидкість дорівнює:

, (15.1)

або в декартових координатах

(15.2)

Рис. 15.1

Рис. 15.1

§ 16. Криволінійні координати. Коефіцієнти Ляме. Швидкість і прискорення точки в криволінійних координатах

Криволінійними координатами точки називається система незалежних параметрів, які однозначно визначають положення матеріальної точки.

Криволінійні координати позначають через

Прикладами криволінійних координат є полярні, циліндричні та сферичні координати.

Коефіцієнтами Ляме називають параметри, що обчислюють за формулою:

(16.1)

де x, y і z – координати рухомої матеріальної точки в декартовій системі координат.

Вектор швидкості в криволінійних координатах визначається за формулою:

(16.2)

де - одиничні вектори відповідних криволінійних координат. Її модуль дорівнює

(16.3)

Проекції прискорення точки на осі криволінійної системи координат дорівнюють:

; (16.4)

(16.5)

§ 17. Окремі випадки руху матеріальної точки. Методика розв'язування задач кінематики точки

Якщо на весь час руху матеріальної точки нормальне прискорення , то рух точки є прямолінійним. Повне прискорення дорівнює дотичному: .

Якщо при криволінійному русі точки в даний момент часу нормальне прискорення дорівнює нулю , то точка М у цей момент часу знаходиться в точці перегину траєкторії.

Якщо протягом усього часу руху матеріальної точки її прискорення дорівнює нулю , то рух точки є рівномірним і прямолінійним. Швидкість у цьому випадку не змінюється ні за модулем, ні за напрямком.

Якщо під час руху точки дотичне прискорення дорівнює нулю , то проекція швидкості не змінюється. Матеріальна точка рухається рівномірно по кривій, повне прискорення точки дорівнює нормальному: . Такий рух називають рівномірним криволінійним.

Якщо під час руху дотичне прискорення є постійним за модулем , то рух точки називається рівномірно змінним криволінійним. Якщо при цьому прискорення співпадає з напрямком швидкості, то рух називають рівноприскореним. Якщо направлене в бік, протилежний до напрямку швидкості, то рух називають рівносповільненим.

Окремі випадки руху точки показано в таблиці 17.1.

У розділі “Кінематика точки” розв'язують задачі на визначення: закону руху точки та рівняння її траєкторії; швидкості точки та рівняння годографа вектора швидкості; прискорення точки та рівняння годографа вектора прискорення.

Під час розв'язування цих задач слід дотримуватись такої методики (порядку дій):

1) вибираємо систему координат (декартову, сферичну, циліндричну або полярну) у залежності від умов даної задачі;

2) у вибраній системі координат складаємо рівняння руху точки;

3) знаючи рівняння руху точки, визначаємо її положення в будь-який момент часу, напрямок руху, траєкторію, а також знаходимо закон руху точки по траєкторії;

4) швидкість і прискорення точки визначаємо так:

а) якщо рівняння руху точки задано в координатній формі, то спочатку знаходимо проекції швидкості та прискорення на осі вибраної системи координат;

б) якщо рівняння руху точки задано в криволінійних координатах, то потрібно скористатись формулами § 16;

Таблиця 17.1

Характер руху точки				Траєкторія, швидкість та прискорення
Прямолінійний: рівномірний	0	0	0
нерівномірний		0
Криволінійний: рівномірний	0
нерівномірний

в) якщо в задачі необхідно визначити секторну швидкість, то потрібно скористатись формулами § 15.

Вказівка. Для закріплення теоретичного матеріалу §§11-17 необхідно розв’язати наступні задачі із збірника: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1981 (або 1986):

1) №№ 10.4 – 10.6; 11.3 –11.4; 12.2; 12.7; 12.11;

2) №№ 10.11; 10.13 – 10.14; 11.8 –11.9; 11.11; 12.6; 12.9; 12.13 – 12.14; 12.17; 12.22;

3) №№ 10.19; 10.22 – 10.23; 11.12; 11.15 – 11.16; 12.29; 12.31 – 12.32; 12.38 – 12.40.