§ 14. Прискорення руху матеріальної точки

14.1. Визначення прискорення точки при векторній формі рівнянь руху

Нехай у момент часу матеріальна точка знаходиться в положенні М₁ і має вектор швидкості , а в положенні М₂ (момент часу ) – вектор . Приріст швидкості за проміжок часу дорівнює . Поділимо вектор на відповідний проміжок часу та одержимо вектор:

(14.1)

який називається вектором середнього прискорення за цей проміжок часу.

Переходимо до межі при та одержимо вектор:

(14.2)

який називається вектором прискорення точки в даний момент часу.

Таким чином, вектор прискорення точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від вектора швидкості точки за часом або другій похідній від радіуса-вектора точки за часом.

У самому загальному випадку криволінійного руху точки вектор її прискорення характеризує зміну з часом модуля та напрямку вектора швидкості цієї точки.

З рис. 14.1 видно, що вектор , а значить і вектор , завжди буде направлений у бік угнутості траєкторії. Це означає, що й межа вектора , тобто вектор прискорення , також направлений у бік угнутості траєкторії.

У загальному випадку вектор прискорення точки в даний момент часу завжди лежить у стичній площині та направлений у бік угнутості криволінійної траєкторії.

Рис. 14.1

14.2. Визначення прискорення точки при координатній формі рівнянь руху

Проекції вектора прискорення на нерухомі осі декартових координат дорівнюють першим похідним від відповідних проекцій вектора швидкості на ті ж осі за часом або другим похідним від відповідних координат рухомої точки за часом:

; ;

(14.3)

При цьому

. (14.4)

Модуль вектора прискорення обчислюють за формулою:

, (14.5)

а його напрямні косинуси з осями координат – за формулами:

(14.6)

3. Визначення прискорення точки при натуральній формі рівнянь руху

Дотичною до кривої в точці М називають граничне положення січної , коли точка наближається до нерухомої точки М (рис. 14.2 а).

Стичною площиною кривої в точці М називають граничне положення площини, що проходить через дотичну до кривої в точці М і точку М₁ кривої, коли точка наближається до точки М (рис. 14.2 б).

Г оловною нормаллю кривої в точці М називають пряму, що перетинає дотичну в точці М під прямим кутом і лежить у стичній площині (рис. 14.2 б).

К

Рис. 14.2 а, б

Рис. 14.2, а, б

ривизну кривої на невеликій її частині вимірюють кутом повороту дотичної (кутом суміжності ), розрахованим на одиницю довжини дуги . Відношення називають середньою кривизною кривої на ділянці (рис. 14.3):

Кривизною кривої в даній її точці М називають межу, до якої наближається середня кривизна дуги за умови, що точка прямує до точки М :

(14.7)

Радіусом кривизни кривої в даній точці М називають величину, обернену до кривизни:

(14.8)

Н

Рис. 14.3

ехай точка М рухається в просторі та М є її положенням у довільний момент t. Точка О – початок відліку дугової координати вздовж траєкторії (рис. 14.4). Швидкість точки можна записати так:

. (14.9)

Прискорення точки одержимо при диференціюванні формули (14.9) за часом t, вважаючи обидва співмножники ( і ) змінними:

Рис. 14.3

(14.10)

де (14.11)

Формула (14.10) дає розкладання вектора на два компоненти за взаємно перпендикулярними напрямками дотичної та головної нормалі; вектор прискорення лежить у стичній площині. Величини і (їх визначення - див. формулу (14.11)) називають відповідно дотичним (або тангенціальним) і нормальним прискореннями точки.

Фізичний зміст дотичного та нормального прискорень такий: дотичне прискорення є прискоренням руху вздовж траєкторії та характеризує бистроту зміни швидкості за величиною, а нормальне прискорення характеризує бистроту зміни швидкості за напрямком.

Абсолютна величина вектора прискорення дорівнює:

(14.12)

К

Рис. 14.4

ут, який утворює вектор прискорення з напрямком головної нормалі, визначається за формулою:

. (14.13)

Розглянемо окремі випадки руху:

а) рівномірний рух точки по довільній кривій. У цьому випадку алгебраїчна величина швидкості не змінюється, а тому ; . Отже, при рівномірному русі по кривій прискорення точки направлено по головній нормалі в бік угнутості траєкторії;

б) рівномірний рух точки по колу. При рівномірному русі по колу прискорення точки направлено до центра кола і тому його називають доцентровим. Доцентрове прискорення дорівнює , де R – радіус кола;

в) рівномірний рух точки по прямій. У цьому випадку

тому що за умовою = const і (траєкторія точки -пряма).