§ 23. Рух вільного твердого тіла

23.1. Рівняння руху вільного твердого тіла

Виберемо параметри (так звані узагальнені координати), які визначатимуть у просторі положення вільного твердого тіла. Довільну точку Р тіла приймемо за початок рухомої системи координат , яка переміщується поступально разом з полюсом Р (рис. 23.1).

Рис. 23.1

Систему Р жорстко пов'яжемо з тілом. Положення точки Р (полюса) у просторі однозначно визначається трьома координатами х_Р, у_Р, z_Р, а положення тіла відносно рухомих осей - трьома кутами Ейлера

Отже, положення вільного твердого тіла в просторі в загальному випадку руху тіла можна визначити за допомогою шести параметрів, які змінюються з часом:

(23.1)

Рівняння (23.1) називаються рівняннями руху вільного твердого тіла.

П

Рис. 23.1

ерші три рівняння визначають поступальний рух системи координат разом з полюсом (переносний рух тіла). Цей рух характеризується векторами швидкості і прискорення полюса Р.

Останні три рівняння (23.1) визначають рух тіла відносно системи координат (відносний рух тіла), тобто рух тіла навколо полюса, який займає в цій рухомій системі координат незмінне положення. Цей відносний сферичний рух такий, що в кожний даний момент часу існує миттєва вісь обертання, навколо якої тіло обертається з деякою миттєвою кутовою швидкістю і з миттєвим кутовим прискоренням .

Отже, у загальному випадку руху при одночасній зміні всіх шести узагальнених координат х_Р, у_Р, z_Р, , рух вільного твердого тіла складається з поступального руху, що визначається рухом полюса Р, і руху тіла навколо цього полюса.

23.2. Швидкості точок вільного твердого тіла в загальному випадку його руху

Швидкість довільної точки М вільного твердого тіла в загальному випадку дорівнює векторній сумі двох швидкостей: поступальної швидкості, що дорівнює швидкості полюса Р тіла, та обертальної швидкості , яку точка М одержує від обертального руху тіла навколо полюса Р, тобто навколо миттєвої осі обертання, що проходить через полюс:

(23.2)

де

23.3. Миттєва гвинтова вісь і миттєвий гвинтовий рух

Нехай рух вільного тіла такий, що швидкість полюса Р дорівнює , миттєва кутова швидкість і миттєве кутове прискорення відповідно дорівнюють і (рис. 23.2).

Проведемо через полюс Р площину П₁, перпендикулярну до вектора , і розкладемо вектор на складові: складова співпадає з напрямком , а складова перпендикулярна до . Вектор розташований у перетині площини П₁ з площиною П₂, проведеною через вектори і .

Рис. 23.2

У площині П₁ проведемо перпендикуляр до площини П₂ і відкладемо на ньому від точки Р відрізок РА, який дорівнює:

(23.3)

Швидкість точки А дорівнює:

(23.4)

бо

.

Рис. 23.2

Отже, точка А має лише швидкість , яка направлена вздовж лінії АL, що паралельна до вектора . Довільний рух вільного твердого тіла ми можемо уявити розкладеним на поступальний рух зі швидкістю , направлений уздовж осі L, і на обертальний рух навколо цієї осі з кутовою швидкістю . Сукупність поступального руху та обертального руху навколо осі L, паралельної до напрямку поступального руху, називається миттєво-гвинтовим рухом. Вісь, навколо якої тіло в даний момент часу обертається та паралельно до якої воно переміщується поступально, називається миттєвою гвинтовою віссю.

Таким чином, довільний рух вільного твердого тіла можна розглядати як миттєво-гвинтовий рух навколо миттєвої гвинтової осі.

При русі вільного твердого тіла миттєва гвинтова вісь змінює своє положення як у нерухомій, так і в рухомій системах координат.

Геометричне місце миттєвих гвинтових осей, віднесене до рухомого тіла, є рухомим аксоїдом. Геометричне місце миттєвих гвинтових осей, віднесене до нерухомої системи координат, являє собою нерухомий аксоїд. Ці аксоїди в кожний момент руху тіла торкаються один одного по спільній твірній, яка є в даний момент часу миттєвою гвинтовою віссю.