§ 18. Складний рух матеріальної точки

18.1. Переносний, відносний та абсолютний рухи матеріальної точки

Часто виникає необхідність дослідити рух матеріальної точки одночасно у двох або більше системах координат, одна з яких рухається відносно іншої, яку умовно можна прийняти за нерухому. У таких випадках кажуть про складний рух матеріальної точки.

Нехай система Охуz жорстко пов'язана з деяким тілом G і рухається відносно іншої системи координат , яку приймемо за нерухому.

Рух матеріальної точки відносно нерухомої системи координат називають абсолютним рухом точки. Цей рух характеризують абсолютною траєкторією (рис. 18.1), абсолютною швидкістю та абсолютним прискоренням .

Рис. 18.1

Рух матеріальної точки відносно рухомої системи координат називають відносним рухом точки. Цей рух характеризують відносною траєкторією, відносною швидкістю і відносним прискоренням .

Рух рухомої системи координат або незмінно пов'язаного з нею тіла G разом з точкою по відношенню до нерухомої системи координат називають переносним рухом точки та характеризують переносною швидкістю і переносним прискоренням .

Якщо система координат нерухома, то рівняннями абсолютного руху точки є рівняння:

; ; . (18.1)

Якщо система координат Охуz рухається відносно системи , то рівняннями відносного руху точки будуть:

(18.2)

Рівняння (18.1) і (18.2) у параметричній формі визначають відповідно абсолютну та відносну траєкторії точки. Якщо ці рівняння відомі, то проекції абсолютної та відносної швидкостей визначаються як перші похідні за часом від рівнянь з формул (18.1) і (18.2).

Проекції абсолютного та відносного прискорень визначають як другі похідні за часом від функцій (18.1) і (18.2).

Основною задачею складного руху точки є встановлення відносного та переносного рухів цієї точки.

2. Теорема про додавання швидкостей при складному русі точки

Ця теорема встановлює залежність між швидкостями точки при відносному та абсолютному рухах.

Теорема. Абсолютна швидкість точки при складному русі дорівнює векторній сумі відносної і переносної швидкостей:

(18.3)

де - оператор відносної похідної; - переносна кутова швидкість.

Для доведення теореми необхідно продиференціювати за часом векторну рівність:

Формула (18.3) встановлює правило паралелограма додавання швидкостей (рис. 18.2).

Модуль абсолютної швидкості визначається за формулою:

(18.4)

Правило паралелограма узагальнюється на правило багатокутника лінійних швидкостей, якщо точка М бере участь у n рухах. Абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі лінійних швидкостей складових рухів:

(18.5)

Рис. 18.2 а, б