§ 13. Швидкість руху матеріальної точки

13.1. Визначення швидкості точки при заданому векторному рівнянні руху

Нехай матеріальна точка здійснює будь-який рух по криволінійній траєкторії АВ (рис. 13.1).

У момент часу точка займає положення , а в момент часу - положення . Моментам часу і відповідають радіуси-вектори і .

Рис. 13.1

В

Рис. 13.1

ектор , початок якого співпадає з початковим положенням матеріальної точки ( ), а кінець – з кінцевим положенням ( ), називається вектором переміщення за даний проміжок часу ( ).

Відношення вектора переміщення точки до того проміжку часу, за який це переміщення відбувається, називається вектором середньої швидкості за цей проміжок часу:

. (13.1)

Вектор середньої швидкості направлений так, як і вектор .

Межа, до якої наближається вектор середньої швидкості, коли проміжок часу наближається до нуля, називається швидкістю в даний момент часу t:

(13.2)

тобто, вектор швидкості в даний момент часу дорівнює першій похідній за часом від радіуса-вектора.

Вектор швидкості направлений по дотичній до траєкторії в бік руху точки.

У загальному випадку криволінійного руху вектор швидкості змінюється як за модулем, так і за напрямком (рис. 13.2 а).

Рис. 13.2 а, б

Щ

Рис. 13.2, а, б

об зручніше було слідкувати за зміною модуля та напрямку вектора швидкості точки, виберемо систему координат Охуz і будемо відкладати вектори послідовно, переносячи їх з рисунка 13.2 а. З'єднаємо кінці векторів та отримаємо деяку криву, яка називається годографом вектора швидкості (рис. 13.2 б).

Отже, годографом вектора швидкості називають геометричне місце кінців векторів швидкості рухомої матеріальної точки, відкладених від однієї й тієї ж довільної точки простору.

Для визначення рівняння годографа швидкості точки потрібно скористатись умовою паралельності осей та . Швидкість точки має проекції:

; ; .

З рисунка 13.2, б визначимо:

; ; . (13.3)

Ці рівняння є параметричними рівняннями годографа швидкості.

13.2. Визначення швидкості точки при координатній формі рівнянь руху

Проекції вектора швидкості на нерухомі осі декартових координат дорівнюють першим похідним від відповідних координат рухомої точки за часом:

(13.4)

(13.5)

Модуль вектора швидкості дорівнює:

(13.6)

де корінь слід брати в його арифметичному значенні.

Щоб визначити напрямок вектора швидкості , треба знайти його напрямні косинуси з осями координат:

(13.7)

13.3. Визначення швидкості точки при натуральній формі рівнянь руху

Вектор швидкості точки в даний момент часу:

(13.8)

де - закон руху точки вздовж заданої траєкторії; - одиничний вектор дотичної, направлений у бік зростання (додатного відліку) криволінійної координати S.

Проекція вектора швидкості точки на напрямок дотичної до заданої траєкторії дорівнює першій похідній від криволінійної координати S точки за часом:

. (13.9)

При криволінійна координата зростає, тобто точка М рухається в бік збільшення S і напрямок вектора співпадає з напрямком орта .

Якщо , то криволінійна координата S зменшується та напрямок вектора швидкості протилежний до напрямку орта .