24.3. Теореми про складання обертань твердого тіла навколо паралельних осей

Нехай тверде тіло D обертається з кутовою швидкістю навколо осі z (рис. 24.3 а), яка, у свою чергу, разом з тілом обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі , що паралельна до осі z.

Рис. 24.3 а, б

Рух тіла D відносно нерухомої системи можна розглядати як складний рух, у якому обертання тіла D навколо рухомої осі z є відносним рухом, а обертання осі z разом з тілом D навколо нерухомої осі - переносним рухом. При цьому всі точки тіла як у відносному, так і в переносному русі залишаються в площинах, перпендикулярних до осей z і , тобто в паралельних між собою площинах. А тому складний рух тіла D є окремим випадком плоского руху тіла. Для його визначення достатньо розглянути рух плоскої фігури S (рис. 24.3 б), яку отримаємо при перетині тіла площиною, перпендикулярною до осей z і . Складний рух плоскої фігури S по відношенню до нерухомої площини П у кожний момент часу можна розглядати як обертальний рух плоскої фігури навколо її миттєвого центра обертань. При визначенні положення миттєвого центра обертань фігури та її миттєвої кутової швидкості розглянемо три різні випадки.

Рис. 24.3, а, б

1. Випадок, коли складові обертання відбуваються в один бік (див. рис. 24.3 б). Позначимо точки перетину осей і z з площиною П через А і В. На відрізку АВ існує точка С, абсолютна швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю. При цьому:

(24.5)

Миттєва кутова швидкість обертання дорівнює:

. (24.6)

Таким чином, у цьому випадку справедлива теорема: якщо тіло бере участь одночасно у двох направлених в один бік обертаннях навколо паралельних осей, то його складний рух буде миттєвим обертанням з кутовою швидкістю . Це обертання відбувається в той же бік навколо миттєвої осі, паралельної до даних осей. Положення миттєвої осі визначається співвідношенням (24.5).

2. Випадок, коли складові обертання відбуваються в протилежні боки, а їх кутові швидкості відрізняються за модулем. Побудуємо площину П, перпендикулярну до даних осей z і . Плоска фігура S рухається в площині П (рис. 24.4).

Я

Рис. 24.4

кщо вісь СР є миттєвою віссю обертання, то буде справедливим співвідношення (24.5).

Миттєва кутова швидкість обертання дорівнює:

. (24.7)

Т

Рис. 24.4

еорема. Якщо тіло бере участь одночасно у двох обертальних рухах навколо паралельних осей з кутовими швидкостями, нерівними за модулем і направленими в протилежні боки, то його складний рух буде миттєво- обертальним з кутовою швидкістю . Це обертання відбувається навколо миттєвої осі, паралельної до даних осей, у бік обертання з більшою кутовою швидкістю. Положення миттєвої осі визначається пропорцією (24.5).

3. Випадок, коли складові обертання відбуваються в протилежні боки, а їх кутові швидкості рівні за модулем. Якщо тіло бере участь у двох обертальних рухах навколо паралельних осей з кутовими швидкостями та і при цьому , то складний рух тіла є поступальним (рис. 24.5). Такі два, направлені в протилежні боки, обертання навколо паралельних осей з рівними за модулем кутовими швидкостями називають парою обертань.

Рис. 24.5

Вказівка. Для закріплення матеріалу § 24 необхідно розв’язати задачі із збірника: Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике.– М.: Наука, 1981 (або 1986):

1) №№ 24.1; 24.3 - 24.4; 24.18; 24.20;

2) №№ 24.5 - 24.6; 24.8; 24.10; 24.25; 24.28;

3) №№ 24.14; 24.17; 24.44; 24.45; 24.46.