§ 12. Три форми рівнянь руху матеріальної точки

Рух матеріальної точки в просторі можна задати рівняннями в трьох формах: координатній, натуральній і векторній.

12.1. Координатна форма рівнянь руху

Нехай точка М (х, у, z) рухається в просторі відносно нерухомої системи відліку Охуz (див. рис. 11.1). Оскільки положення точки в просторі з часом змінюється, то координати х, у, z цієї точки будуть функціями часу, тобто

х=х(t); у=у(t); z=z(t), (12.1)

де t – час.

Ці функції повинні бути неперервними функціями часу, що відповідає природі руху: точка не може зникнути в одному місці, щоб з'явитись в іншому. Крім того, ці функції повинні мати похідні за часом не нижче другого порядку.

Якщо функції х=х(t), у=у(t), z=z(t) відомі, то говорять, що відомий закон руху точки М у просторі, бо в цьому разі можна визначити положення точки М у кожний момент часу.

Три рівняння (12.1) називають рівняннями руху матеріальної точки в координатній формі.

Геометричне місце послідовних положень точки, що рухається в просторі, називається траєкторією точки (див. рис. 11.1). Траєкторія – це неперервна лінія, яка може бути замкнутою або розімкнутою, прямою або кривою. Рівняння (12.1) можна розглядати як рівняння траєкторії в параметричній формі, де параметром є час t. Якщо виключити з цих рівнянь t, то одержимо рівняння траєкторії в координатах х, у, z.

Координатна форма рівнянь руху допускає використання декартових, полярних, циліндричних, сферичних та інших криволінійних координат.

12.2. Натуральна форма рівнянь руху

Н ехай АВ – відома траєкторія руху матеріальної точки (рис. 12.1). Вибираємо на траєкторії будь-яку фіксовану точку О за початок відліку дугової координати, один з напрямків від точки О вздовж траєкторії - за додатний напрямок. Положення рухомої точки М на траєкторії визначається дуговою координатою (віддаллю МО, виміряною вздовж дуги траєкторії та взятою з відповідним знаком).

Я

Рис. 12.1

Рис. 12.1

кщо точка М рухається по траєкторії, віддаль (дугова координата) змінюється з часом, тобто:

. (12.2)

Ця рівність називається натуральним рівнянням руху матеріальної точки. Величина S визначає віддаль (додатну або від'ємну) точки М від початку відліку, а не пройдений точкою шлях. Натуральне рівняння (12.2) визначає закон руху точки по траєкторії або закон віддалей. Натуральний метод вивчення руху точки застосовують у тих випадках, коли наперед відома траєкторія руху.

З диференціальної геометрії відомо, що елемент дуги траєкторії дорівнює:

де знак “плюс” береться у тому випадку, коли dS відповідає зміщенню точки у бік зростання S, а знак “мінус” – коли dS відповідає зміщенню точки у бік зменшення S.

Інтегруючи це рівняння в межах від до і від 0 до t, отримаємо закон руху матеріальної точки по траєкторії:

або

(12.3)

де - перші похідні від координат рухомої точки за часом.

12.3. Векторна форма рівнянь руху

Рівняння руху точки можна подати ще й у третій формі – векторній. Положення точки М можна охарактеризувати радіусом-вектором , що виходить з початку координат О та направлений до точки М у просторі (див. рис. 11.1) або в площині (рис. 12.2). Кожна з трьох або двох координат точки М дорівнює проекції радіуса-вектора цієї точки на відповідну координатну вісь. При цьому справедлива рівність:

, (12.4)

д е - одиничні вектори осей координат.

Ф

Рис. 12.2

Рис. 12.2

ормула (12.4) відображає розклад радіуса-вектора на три просторових компоненти по осях координат. Радіус-вектор змінюється за величиною та за напрямком, він є функцією часу:

. (12.5)

Рівність (12.5) визначає закон руху точки та називається рівнянням руху точки у векторній формі.

Наприклад, радіус-вектор точки задано у вигляді:

.

Відповідні рівняння руху точки в координатній формі будуть мати такий вигляд:

; ; .