22.5. Миттєве кутове прискорення тіла при сферичному русі
При сферичному русі тіла положення миттєвої осі обертання з часом змінюється, а отже, змінюється не тільки модуль, а й напрямок вектора кутової швидкості тіла. Кутове прискорення тіла дорівнює:
при
(22.8)
За змістом векторної похідної вектор направлений по дотичній до годографа вектора у відповідній точці (рис. 22.4).
Рис. 22.4
Рис. 22.4
У випадку, коли вектор змінюється лише за напрямком, годографом вектора є коло, а аксоїдами - прямі круглі конуси (рис. 22.5).
Рис. 22.5
К
Рис. 22.5
визначається як лінійна швидкість руху
кінця вектора миттєвої кутової швидкості
по його годографу:
(22.9)
де
-
кутова швидкість, з якою при русі тіла
рухомий аксоїд обертається навколо осі
ОА
нерухомого аксоїда.
22.6. Прискорення точок твердого тіла при сферичному русі
Прискорення довільно вибраної точки М при сферичному русі дорівнює:
.
(22.10)
Прискорення
(22.11)
називається
обертальним
прискоренням.
Воно має напрямок перпендикулярно до
площини, що проходить через миттєве
кутове прискорення
тіла та радіус-вектор
точки М
так, що з кінця вектора
найкоротший поворот від
до
здійснюється проти руху годинникової
стрілки. За модулем обертальне прискорення
дорівнює:
,
(22.12)
де
- найкоротша відстань точки М
від прямої, уздовж якої від точки О
відкладено
вектор
(рис.
22.6).
Рис. 22.6
П
Рис. 22.6
(22.13)
називається доосьовим прискоренням точки М і має напрямок до осі миттєвого обертання. Модуль цього прискорення дорівнює:
.
(22.14)
Модуль вектора прискорення дорівнює:
.
(22.15)
Вказівка. Для закріплення матеріалу § 22 необхідно розв’язати задачі із збірника: Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике.– М.: Наука, 1981 (або 1986):
1) №№ 19.1; 19.3; 19.9; 20.3;
2) №№ 19.4; 19.5; 19.7; 19.11; 19.13; 20.4; 20.15;
3) №№ 19.14; 19.15; 20.17; 20.18.
Питання для самоконтролю
1. Який рух твердого тіла називають сферичним?
2. Якими параметрами визначається положення твердого тіла, одна з точок якого нерухома?
3. Які кути називають кутами Ейлера?
4. Які рухи називають власним обертанням твердого тіла, прецесією та нутацією?
5. Запишіть рівняння руху твердого тіла навколо нерухомої точки.
6. Сформулюйте теорему Ейлера–Даламбера.
7. Що називають миттєвою віссю обертання тіла з однією нерухомою точкою?
8. Яку кутову швидкість називають миттєвою кутовою швидкістю тіла, що має нерухому точку, та як вона визначається?
9. Що являють собою нерухомий і рухомий аксоїди та що відбувається з аксоїдами під час дійсного руху тіла?
10. Як визначаються при сферичному русі проекції вектора миттєвої кутової швидкості тіла на рухомі та нерухомі осі?
11. Як визначаються модуль і напрямок вектора миттєвої кутової швидкості?
12. Як визначаються проекції вектора миттєвого кутового прискорення через кути Ейлера?
13. Як визначається швидкість будь-якої точки тіла при сферичному русі?
14. Чому при сферичному русі змінюється не тільки модуль, а й напрямок вектора кутової швидкості тіла?
15. Як визначити кутове прискорення тіла при сферичному русі за величиною та напрямком?
16. Як визначається прискорення довільної точки тіла при сферичному русі?
17. Які модулі та напрямки мають складові прискорення точки тіла при сферичному русі?
18. Чому напрямки векторів кутового прискорення та кутової швидкості тіла при сферичному русі не співпадають?