22.2. Теорема Ейлера-Даламбера

Вище зазначалось, що переміщення тіла, яке має одну нерухому точку, з одного положення в інше здійснюється шляхом трьох послідовних поворотів навколо відповідних осей. Згідно з теоремою Ейлера-Даламбера будь-яке переміщення твердого тіла, що має одну нерухому точку, з одного положення в інше можна здійснити одним поворотом тіла навколо осі, яка проходить через нерухому точку. Вісь, навколо якої здійснюється поворот, називається миттєвою віссю обертання.

Миттєва вісь обертання являє собою геометричне місце точок тіла, швидкості яких у даний момент часу дорівнюють нулю.

При русі тіла з однією нерухомою точкою в кожний даний момент часу існує миттєва вісь обертання, яка проходить через нерухому точку. Поворотом навколо цієї осі на нескінченно малий кут тіло переміщується з даного положення в нескінченно близьке до даного. Кутова швидкість, з якою здійснюється цей поворот, називається миттєвою кутовою швидкістю:

(22.2)

Кутову швидкість тіла, що має нерухому точку, не можна визначити похідною від деякого кута за часом (при русі тіла навколо нерухомої точки кут просто не існує). Миттєва кутова швидкість повинна бути задана безпосередньо як функція часу. Цю кутову швидкість можна показати у вигляді вектора , направленого вздовж миттєвої осі обертання ОР так, щоб спостерігач, дивлячись з кінця вектора , бачив обертання тіла проти руху годинникової стрілки (рис. 22.2).

Рис. 22.2

22.3. Рухомі та нерухомі аксоїди

При сферичному русі твердого тіла положення миттєвої осі змінюється. Ця вісь у різні моменти часу займає різні положення як у нерухомій системі відліку , так і в рухомій системі відліку Охуz, незмінно пов'язаній з тілом, що рухається навколо нерухомої точки. Геометричне місце положень миттєвих осей обертання відносно нерухомої системи відліку являє собою конічну поверхню з вершиною в нерухомій точці.

Рис. 22.2

Геометричне місце положень миттєвих осей обертання відносно рухомої системи відліку також являє собою конічну поверхню з вершиною в нерухомій точці. Ці поверхні називають аксоїдами відповідно нерухомим і рухомим.

Рухомий і нерухомий аксоїди утворюються переміщенням однієї прямої – миттєвої осі обертання ОР. Отже, у кожний момент часу вони торкаються один одного вздовж загальної твірної ОР (див. рис. 22.2). Швидкості точок прямої ОР дорівнюють нулю. А тому при сферичному русі рухомий аксоїд котиться без ковзання по нерухомому аксоїду.

Принципові значення цих висновків полягають у тому, що сферичний рух тіла можна здійснити, якщо котити без ковзання рухомий аксоїд, незмінно пов'язаний з рухомим тілом, так, щоб у кожний момент часу кутова швидкість цього кочення була такою, яка дорівнює кутовій швидкості дійсного руху тіла.