§ 21. Плоский рух твердого тіла

21.1. Поняття плоского руху твердого тіла

Рух твердого тіла називається плоским, якщо всі точки тіла рухаються в площинах, паралельних до певної нерухомої площини. Складові частини більшості механізмів, які зустрічаються в практиці машинобудування, здійснюють плоский рух (наприклад, рух шатуна кривошипно-шатунного механізму).

При плоскому русі тіла його точки залишаються на незмінній віддалі від нерухомої площини. Ті точки тіла, які лежать на заданій віддалі від нерухомої площини, утворюють так звану “плоску фігуру”, що рухається у своїй площині.

Плоска фігура має три ступені вільності руху у своїй площині.

21.2. Рівняння руху плоскої фігури

Нехай плоска фігура S рухається в площині рисунка, у якій вибрана нерухома система координат .

Пов'яжемо незмінно з рухомою плоскою фігурою S систему координат Рху з початком координат у будь-якій фіксованій точці Р цієї фігури. Точку Р називають полюсом. Кут - це кут між осями Рх та . За параметри, що визначають положення фігури, виберемо три величини: дві координати , полюса та кут (рис. 21.1).

Три рівняння,

, (21.1)

визначають закон руху фігури відносно системи координат і називаються рівняннями плоского руху твердого тіла.

Координати і будь-якої точки М плоскої фігури пов'язані з координатами х і у тієї ж самої точки М відомими з аналітичної геометрії формулами перетворення:

(21.2)

Рис. 21.1

П

Рис. 21.1

ри русі фігури S координати х і у точки М залишаються сталими. Рівняння (21.1) і (21.2) визначають закон руху точки М на площині . Якщо з рівнянь (21.2) виключити час t, то одержимо рівняння траєкторії точки М (х, у) на нерухомій площині .

У векторній формі рівняння (21.2) набувають вигляду:

(21.3)

21.3. Поле швидкостей

Швидкість довільної точки М плоскої фігури знаходять диференціюванням рівняння (21.3) за часом:

. (21.4)

Похідна за часом означає зміну вектора унаслідок його обертального руху; згідно з формулою Ейлера маємо:

(21.5)

тому з (21.4) знаходимо

(21.6)

Ц я формула виражає теорему: швидкість довільної точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса nf швидкості обертального руху точки навколо полюса. Вектор розміщений уздовж осі обертання z, тобто напрямлений від полюса Р по перпендикуляру до плоскої фігури (рис. 21.2).

Рис. 21.2

Рис. 21.2

Рис. 21.2

Кут між векторами і прямий. Вектор лежить у площині рисунка та перпендикулярний до відрізка МР; за величиною він дорівнює .

На рис. 21.2 показано дві складові вектора швидкості точки М. Складова дорівнює швидкості полюса Р; обертальна швидкість має напрямок у бік обертання фігури перпендикулярно до відрізка, що з'єднує точку М з полюсом Р.

Диференціюючи за часом функції і , з рівнянь (21.2) маємо:

(21.7)

Формули (21.7) визначають швидкість довільної точки М(х, у) плоскої фігури в кожний момент часу. Тому можна говорити, що ці формули визначають розподіл швидкостей для точок плоскої фігури або поле швидкостей.

Формули (21.7) можна записати у вигляді:

(21.8)

де , - координати точки М у нерухомій системі .